> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Прямая и обратная пропорциональные зависимости 6 класс: В этом разделе рассматриваем **тему Прямая и обратная пропорциональные зависимости 6 класс**\. В повседневной жизни и естественных науках мы регулярно сталкиваемся с величинами, изменение которых напрямую влияет друг на друга: например, количество купленных товаров и итоговая чек\-сумма, скорость автомобиля и время пути, объём выполненной работы и число рабочих\. Умение определять тип связи между величинами и составлять пропорцию позволяет решать сложные текстовые задачи устно и без громоздких систем уравнений\. На странице представлена вся необходимая теория по программе 6 класса: строгие математические определения прямой и обратной пропорциональной зависимости величин, их фундаментальные свойства \(постоянство отношения и постоянство произведения\), правила составления пропорций и подробный разбор задач из контрольных работ\. Отработать тему прямая и обратная пропорциональные зависимости можно после изучения теории в[ интерактивных тренажёрах](#pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnyye-zavisimosti-6-klass-na-platforme-ekzameo) с подробными решениями\. ## Прямая пропорциональная зависимость > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti). Рассмотрим пример: периметр квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $P = 4a$\. Если мы увеличим длину стороны $a$ в $3$ раза, то и периметр $P$ вырастет ровно в $3$ раза\. Отношение периметра к стороне всегда остаётся постоянным: $\dfrac{P}{a} = 4$\. #### Определение прямой пропорциональности 🎯 Две величины называют **прямо пропорциональными**, если при увеличении \(или уменьшении\) одной из них в несколько раз другая увеличивается \(или уменьшается\) **во столько же раз**\. $$ \dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = k \quad \text{или} \quad \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} $$ **Главное свойство:** отношение соответствующих значений прямо пропорциональных величин остаётся неизменным \($k$ — коэффициент пропорциональности\)\. **Примеры в жизни:** пройденный путь и время при постоянной скорости \($S = v \cdot t$\), стоимость товара и его количество при фиксированной цене \($C = a \cdot n$\), объём работы и время при одинаковой производительности\. ### Обратная пропорциональная зависимость Рассмотрим другую ситуацию: прямоугольник имеет постоянную площадь $S = 12\text{ см}^2$\. Его стороны связаны формулой $a \cdot b = 12$\. Если сторону $a$ увеличить в $2$ раза \(с $3$ до $6\text{ см}$\), то сторона $b$ уменьшится в $2$ раза \(с $4$ до $2\text{ см}$\)\. При этом произведение сторон остаётся постоянным и равным $12$\. #### Определение обратной пропорциональности 🎯 Две величины называют **обратно пропорциональными**, если при увеличении \(или уменьшении\) одной из них в несколько раз другая уменьшается \(или увеличивается\) **во столько же раз**\. $$ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = k \quad \text{или} \quad \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1} $$ **Главное свойство:** произведение соответствующих значений обратно пропорциональных величин является постоянным\. **Примеры в жизни:** скорость движения и время в пути при фиксированном расстоянии \($v \cdot t = S$\), время выполнения работы и количество рабочих одинаковой квалификации, цена товара и количество единиц, которое можно купить на фиксированную сумму денег\. ## Сравнительная таблица прямо и обратно пропорциональных зависимостей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti). Для наглядного сравнения двух типов зависимостей используйте сводную таблицу: ##### Характеристика ##### Прямая пропорциональность ##### Обратная пропорциональность **Характер изменения** Однонаправленный \(рост $\implies$ рост, спад $\implies$ спад\)\. Противоположный \(рост $\implies$ спад, спад $\implies$ рост\)\. **Что неизменно \(константа\)** **Отношение:** $\dfrac{y}{x} = k$ **Произведение:** $x \cdot y = k$ **Вид пропорции** Прямая: $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$ Инвертированная: $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ **График зависимости** Прямая линия, проходящая через $(0;0)$\. Гипербола \(кривая линия\)\. #### Важное замечание: Не все зависимости пропорциональны\! 💡 Далеко не всегда две увеличивающиеся величины являются прямо пропорциональными\. Например, с возрастом котенка растёт его масса, однако при увеличении возраста в $3$ раза масса котенка вовсе не обязательно вырастет ровно в $3$ раза\! Для пропорциональности строго необходимо соблюдение постоянного коэффициента изменения\. ### Пошаговый алгоритм решения задач на пропорции При решении текстовых задач по теме **прямая и обратная пропорциональные зависимости** придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Запишите краткое условие в виде таблицы:** расположите одноимённые величины друг под другом, обозначив неизвестное за $x$\. **Установите тип зависимости:** • Если при увеличении одной величины вторая тоже увеличивается — это **прямая пропорциональность** \(стрелки в одну сторону $\uparrow\uparrow$\)\. • Если при увеличении одной вторая уменьшается — это **обратная пропорциональность** \(стрелки в разные стороны $\uparrow\downarrow$\)\. **Составьте и решите пропорцию:** • Для прямой пропорциональности составляем прямую пропорцию: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{x}$\. • Для обратной пропорциональности переворачиваем одно из отношений: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{x}{b_1}$\. Находим $x$ и выписываем ответ\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 6 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti). Рассмотрите решения характерных текстовых задач из программы 6 класса\. **Задание:** Из $2{,}5\text{ кг}$ железной руды выплавляют $1{,}6\text{ кг}$ железа\. Сколько железа получат из $15\text{ кг}$ такой же руды? **Подробное решение:** 1\) Оформим краткую запись: $2{,}5\text{ кг руды} \longrightarrow 1{,}6\text{ кг железа}$ $15\text{ кг руды} \longrightarrow x\text{ кг железа}$ 2\) Определим тип зависимости: чем больше взято руды, тем больше выйдет железа\. Зависимость **прямо пропорциональная**\. 3\) Составим прямую пропорцию: $$ \dfrac{2{,}5}{15} = \dfrac{1{,}6}{x} $$ 4\) Найдем неизвестный крайний член пропорции $x$: $$ x = \dfrac{15 \cdot 1{,}6}{2{,}5} = \dfrac{24}{2{,}5} = 9{,}6\text{ кг} $$ **Ответ:** $9{,}6\text{ кг}$ железа\. **Задание:** Поезд со скоростью $60\text{ км/ч}$ проходит расстояние между городами за $4\text{ часа}$\. За какое время проедет это же расстояние поезд, если его скорость будет $80\text{ км/ч}$? **Подробное решение:** 1\) Оформим краткую запись: $60\text{ км/ч} \longrightarrow 4\text{ ч}$ $80\text{ км/ч} \longrightarrow x\text{ ч}$ 2\) Определим тип зависимости: при увеличении скорости время в пути уменьшается при том же расстоянии\. Зависимость **обратно пропорциональная**\. 3\) Составим пропорцию, перевернув второе отношение: $$ \dfrac{60}{80} = \dfrac{x}{4} $$ 4\) Выразим $x$ по правилу пропорции: $$ x = \dfrac{60 \cdot 4}{80} = \dfrac{240}{80} = 3\text{ ч} $$ **Ответ:** за $3\text{ часа}$\. ## Тренажёры на прямую и обратную пропорциональность 6 класс На платформе Экзамео собраны задания на тему **прямая и обратная пропорциональные зависимости 6 класс**, состоящие из практических текстовых задач на движение, работу, стоимость товаров и сплавы, составленных строго по требованиям ФГОС и ФОП\. Система проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с составлением пропорций к каждой задаче\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/pryamaya_i_obratnaya_proportsionalnye_zavisimosti).