Сложение чисел с помощью координатной прямой - разбор темы

На странице собраны подробные учебные материалы по математике «Сложение положительных и отрицательных чисел с помощью координатной прямой» для 6 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, наглядными схемами движения и разобранными примерами, чтобы помочь шестиклассникам глубоко понять геометрический смысл сложения чисел с разными и одинаковыми знаками, избавиться от путаницы со знаками и успешно подготовиться к контрольным работам и ВПР.

В 6 классе координатная прямая — это главный наглядный инструмент: она позволяет превратить абстрактные операции с положительными и отрицательными числами в понятные и очевидные перемещения вправо и влево от начальной точки.

Геометрический смысл сложения на координатной прямой — 6 класс

Любое прибавление числа на координатной прямой означает смещение (перемещение) из начальной точки на определенное количество единичных отрезков:

• Прибавление положительного числа ( $+b$ ): означает перемещение из исходной точки вправо (в положительном направлении) на $b$ единиц;
• Прибавление отрицательного числа ( $-b$ ): означает перемещение из исходной точки влево (в отрицательном направлении) на $b$ единиц;
• Прибавление нуля ( $+0$ ): означает, что точка остается на месте (перемещение равно $0$ ).

Сложение чисел положительных и отрицательных на числовом луче

Главные правила перемещения:

Прибавить положительное число $\implies$ шагаем ВПРАВО

Прибавить отрицательное число $\implies$ шагаем ВЛЕВО

Подробный разбор 4 основных случаев сложения

Рассмотрим все возможные сочетания знаков слагаемых при сложении на координатной прямой:

1. К положительному прибавляем положительное ➕➕

Стартуем из положительной точки и шагаем вправо.

Пример: Вычислим $3 + 4$ .

• Становимся в точку $3$ .

• Двигаемся вправо на $4$ единицы.

• Попадаем в точку $7$ .

\mathbf{3 + 4 = 7}

2. К положительному прибавляем отрицательное ➕➖

Стартуем из положительной точки и шагаем влево.

Пример: Вычислим $5 + (-7)$ .

• Становимся в точку $5$ .

• Двигаемся влево на $7$ единиц.

• Попадаем в точку $-2$ .

\mathbf{5 + (-7) = -2}

Если рассмотреть это на числовой прямой это будет выглядеть вот так:

3. К отрицательному прибавляем положительное

Стартуем из отрицательной точки и шагаем вправо.

Пример: Вычислим $-4 + 6$ .

• Становимся в точку $-4$ .

• Двигаемся вправо на $6$ единиц.

• Попадаем в точку $2$ .

\mathbf{-4 + 6 = 2}

4. К отрицательному прибавляем отрицательное

Стартуем из отрицательной точки и шагаем еще дальше влево.

Пример: Вычислим $-2 + (-3)$ .

• Становимся в точку $-2$ .

• Двигаемся влево на $3$ единицы.

• Попадаем в точку $-5$ .

\mathbf{-2 + (-3) = -5}

Сложение отрицательного числа на числовом луче

Сложение противоположных чисел

Особый и очень важный случай на координатной прямой — сложение противоположных чисел (чисел, равных по модулю, но противоположных по знаку):

Свойство противоположных чисел:

Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$ .

• Геометрическое объяснение: Если мы стартуем из точки $a$ и смещаемся на столько же единиц в обратную сторону (на $-a$ ), то неизбежно возвращаемся в начало координат $0(0)$ .
• Пример: $-6 + 6 = 0$ или $4 + (-4) = 0$ .

Сводная таблица маршрутов на координатной прямой

Используйте эту шпаргалку для определения движения по координатной сетке - она поможет вам лучше понять принципы сложения и вычитания отрицательных и положительных чисел и разобраться с этим раз и навсегда:

Выражение

Точка старта

Направление и число шагов

Финишная точка

$-3 + 5$

Точка $-3$

Вправо на $5$ единиц ➡️

$\mathbf{2}$

$2 + (-6)$

Точка $2$

Влево на $6$ единиц ⬅️

$\mathbf{-4}$

$-1 + (-4)$

Точка $-1$

Влево на $4$ единицы ⬅️

$\mathbf{-5}$

$-5 + 5$

Точка $-5$

Вправо на $5$ единиц ➡️

$\mathbf{0}$

Пошаговый алгоритм сложения на координатной прямой

Чтобы безошибочно найти сумму двух чисел с помощью координатной прямой, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Отметьте первое слагаемое: найдите на координатной прямой точку, соответствующую первому числу $a$ , и поставьте в ней начало отсчета сдвига.

Посмотрите на знак второго слагаемого $b$ :

• Если $b > 0$ — будете двигаться вправо.

• Если $b < 0$ — будете двигаться влево.

Отсчитайте нужные деления: сдвиньтесь в выбранном направлении на число единичных отрезков, равное модулю второго числа $|b|$ .

Запишите ответ: число, в точке которого вы остановились, и есть искомая сумма $a + b$ .

Разбор практических примеров сложения положительных и отрицательных чисел

Рассмотрите подробные образцы решения задач на сложение с помощью координатной прямой из школьной программы 6 класса.

Пример 1: Вычисление суммы нескольких перемещений

Задание: Точка на координатной прямой сначала сместилась из положения $-2$ на $5$ единиц вправо, а затем на $8$ единиц влево. В какой точке оказалась фигура? Запишите выражение и найдите его значение.

Подробное решение:

1) Запишем последовательность перемещений в виде суммы:

Начало: $-2$ .

Смещение вправо на $5$ : $+5$ .

Смещение влево на $8$ : $+(-8)$ .

Выражение: $-2 + 5 + (-8)$

2) Выполним первое действие (из точки $-2$ вправо на $5$ ):

$-2 + 5 = 3$ (оказались в точке $3$ ).

3) Выполним второе действие (из точки $3$ влево на $8$ ):

$3 + (-8) = -5$ (оказались в точке $-5$ ).

Ответ: Выражение $-2 + 5 + (-8) = -5$ , точка оказалась в $-5$ .

Пример 2: Решение жизненной задачи на изменение температуры

Задание: Вечером температура воздуха составляла $-3^\circ\text{C}$ . К ночи она изменилась на $-4^\circ\text{C}$ , а к утру поднялась на $+6^\circ\text{C}$ . Какая температура установилась утром? Проиллюстрируйте вычисления на координатной прямой.

Подробное решение:

1) Составим математическую модель:

Начальная температура: $-3$ .

Ночное похолодание (смещение влево): $+(-4)$ .

Утреннее потепление (смещение вправо): $+6$ .

Выражение: $-3 + (-4) + 6$

2) Первый шаг (ночь):

От точки $-3$ шагаем на $4$ деления влево $\implies -3 + (-4) = -7^\circ\text{C}$ .

3) Второй шаг (утро):

От точки $-7$ шагаем на $6$ делений вправо $\implies -7 + 6 = -1^\circ\text{C}$ .

Ответ: Утром температура воздуха составила $-1^\circ\text{C}$ .

Тренажёры по теме сложения положительных и отрицательных чисел на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Сложение положительных и отрицательных чисел с помощью координатной прямой» для 6 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на определение направления смещения, составление выражений по рисункам и нахождение сумм составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по математике за 6 класс и требованиями ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Сложение на координатной прямой 6 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по математике вместе с нами!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы