> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/delimost_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/delimost_mnogochlenov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Делимость многочленов: правила, остаток и деление углом На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Делимость многочленов»** для учащихся **7 класса**\. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь семиклассникам освоить базовые принципы деления многочленов нацело и с остатком, научиться выполнять деление «столбиком» \(углом\) и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам по алгебре\. Понятие делимости многочленов полностью аналогично делимости обычных целых чисел\. Как и в арифметике, при делении одного алгебраического выражения на другое мы стремимся представить делимое через делитель, частное и остаток\. Навык деления многочленов — это фундаментальный шаг к решению уравнений высших степеней и сокращению сложных алгебраических дробей\. ## Понятие делимости многочленов — 7 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/delimost_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/delimost_mnogochlenov). Говорят, что многочлен $A$ **делится нацело** на ненулевой многочлен $B$, если существует такой многочлен $Q$, что справедливо равенство: $A = B \cdot Q$ • $A$ — делимое многочлен; • $B$ — делитель многочлен \($B \neq 0$\); • $Q$ — частное многочлен\. Если многочлен $A$ не делится нацело на $B$, то выполняют **деление с остатком**: $A = B \cdot Q + R$ где $R$ — остаток, причем степень остатка $R$ строго меньше степени делителя $B$\. ### Основные правила и компоненты делимости При делении многочленов важно учитывать степень каждого из участников арифметического действия: ##### 1\. Деление нацело \(R = 0\) ✂️ Остаток равен нулю\. Многочлен $A$ раскладывается на множители $B$ и $Q$: $\frac{A}{B} = Q$ ##### 2\. Деление с остатком \(R ≠ 0\) 🧩 Записывается в виде комбинации целой части и алгебраической дроби: $\frac{A}{B} = Q + \frac{R}{B}$ ##### 3\. Степень частного Q 📊 Степень частного всегда равна разности степеней делимого и делителя: $\text{deg}(Q) = \text{deg}(A) - \text{deg}(B)$ ##### 4\. Условие завершения деления 🛑 Процесс деления завершается, как только степень очередного остатка станет **строго меньше** степени делителя $B$\. ### Пошаговый алгоритм деления многочленов «уголком» \(столбиком\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/delimost_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/delimost_mnogochlenov). Чтобы делить многочлены углом без ошибок в 7 классе, используйте следующий пошаговый алгоритм: ### Порядок действий: **Упорядочьте многочлены:** запишите слагаемые делимого $A$ и делителя $B$ строго по убыванию степеней переменной \(в стандартном виде\)\. Если какие\-то промежуточные степени отсутствуют, оставьте для них свободное место или припишите их с нулевыми коэффициентами \(например, $0x^2$\)\. **Найдите первый член частного:** разделите старший член делимого на старший член делителя\. **Вычтите произведение:** домножьте найденный член частного на весь делитель и вычтите полученный результат из делимого, чтобы уничтожить старшую степень\. **Повторяйте процесс** для полученной разности до тех пор, пока степень нового остатка не станет меньше степени делителя\. #### Типичные ошибки при делении многочленов При выполнении деления многочленов углом ученики 7 класса чаще всего допускают следующие две ошибки: ##### Ошибка в знаках при столбиковом вычитании Забывать сменить знаки у **всех слагаемых** вычитаемого многочлена при столбиковом вычитании\. Напоминаем: вычитание многочлена эквивалентно прибавлению слагаемых с противоположными знаками\! ##### Неправильный порядок степеней Начинать делить многочлены, не записав слагаемые по убыванию степеней\. Всегда приводте многочлены к **стандартному виду** перед делением\! Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах, чтобы правильно выполнять задачи\. ##### Разбор примеров делимости многочленов для 7 класса Рассмотрите примеры решения задач из курса алгебры 7 класса — они помогут разобраться с алгоритмом деления\. **Задание:** Разделите многочлен $x^2 + 5x + 6$ на двучлен $x + 2$\. **Подробное решение:** 1\) **Первый шаг:** Разделим старший член делимого $x^2$ на старший член делителя $x$\. Получаем первый член частного: $x^2 : x = x$\. 2\) **Второй шаг:** Умножим $x$ на делитель $(x + 2)$: $x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x$\. 3\) **Третий шаг:** Вычтем из делимого полученное выражение: $(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 2x) = 3x + 6$\. 4\) **Четвертый шаг:** Разделим старший член нового выражения $3x$ на старший член делителя $x$: $3x : x = 3$ \(второй член частного\)\. 5\) **Пятый шаг:** Умножим $3$ на $(x + 2)$: $3 \cdot (x + 2) = 3x + 6$\. Вычитаем: $(3x + 6) - (3x + 6) = 0$\. Остаток равен $0$\. **Ответ:** $x + 3$\. **Задание:** Выполните деление многочлена $2x^2 + 7x + 5$ на $x + 1$ с остатком\. **Подробное решение:** 1\) Разделим $2x^2$ на $x$ $\to$ получаем $2x$\. Умножим: $2x \cdot (x + 1) = 2x^2 + 2x$\. Вычтем: $(2x^2 + 7x + 5) - (2x^2 + 2x) = 5x + 5$\. 2\) Разделим $5x$ на $x$ $\to$ получаем $5$\. Умножим: $5 \cdot (x + 1) = 5x + 5$\. Вычтем: $(5x + 5) - (5x + 5) = 0$\. 3\) Деление произошло нацело без остатка\. **Ответ:** частное равно $2x + 5$, остаток $0$\. ## Задания и тренажёры по делимости многочленов на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные тренажёры по теме **«Делимость многочленов» для 7 класса**\. Систематические тренировки помогут до автоматизма отработать деление углом, вычисление остатков, разложение на множители, сдать самостоятельные и контрольные работы по алгебре на «отлично»\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Делимость многочленов»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/delimost_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/delimost_mnogochlenov).