> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/desyatichnoe_razlozhenie_ratsionalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/desyatichnoe_razlozhenie_ratsionalnyh_chisel). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Десятичное разложение рациональных чисел \- разбор темы На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Десятичное разложение рациональных чисел» по алгебре и математике для 7 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядным представлением рациональных чисел в виде десятичных дробей, строгой классификацией конечных и бесконечных периодических дробей, алгоритмами перевода в обе стороны и подробным разбором примеров из контрольных работ и ВПР\. Тема «Десятичное разложение рациональных чисел» раскрывает ключевое математическое свойство всех рациональных чисел\. В 7 классе эта тема связывает обыкновенные и десятичные дроби в единую систему и закладывает основу для понимания действительных и иррациональных чисел\. ## Главное свойство рациональных чисел > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/desyatichnoe_razlozhenie_ratsionalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/desyatichnoe_razlozhenie_ratsionalnyh_chisel). Любое рациональное число по определению можно записать в виде обыкновенной несократимой дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$ \(числитель $m$ — целое число\) и $n \in \mathbb{N}$ \(знаменатель $n$ — натуральное число, то есть $n > 0$\), причём числа $m$ и $n$ являются взаимно простыми \($\text{НОД}(|m|; n) = 1$\)\. Если поделить числитель на знаменатель «уголком», мы получим десятичное разложение этого числа\. ### Формы десятичного разложения рациональных чисел #### Основная теорема о десятичном разложении 🎯 Каждое рациональное число раскладывается либо в **конечную десятичную дробь**, либо в **бесконечную периодическую десятичную дробь**\. • **Конечная десятичная дробь:** получается тогда, когда в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители содержатся **только числа **$2$** и **$5$ \(например: $\frac{3}{8} = 0{,}375$\)\. Любую конечную дробь можно считать периодической с нулём в периоде: $0{,}375 = 0{,}375000\dots = 0{,}375(0)$\. • **Бесконечная периодическая десятичная дробь:** получается тогда, когда знаменатель несократимой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от $2$ и $5$ \(например: $3, 7, 11$\)\. Повторяющаяся группа цифр называется **периодом** и записывается в круглых скобках\. #### Чистые и смешанные периодические дроби Бесконечные периодические десятичные дроби делятся на два вида: ##### 1\. Чистая периодическая дробь 🔄 Период начинается **сразу после запятой**\. Примеры: • $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots = 0{(3)}$ \(читается: «ноль целых и три в периоде»\)\. • $\dfrac{2}{11} = 0{,}181818\dots = 0{(18)}$ \(«ноль целых и восемнадцать в периоде»\)\. ##### 2\. Смешанная периодическая дробь 🔀 Между запятой и первым периодом стоят одна или несколько неповторяющихся цифр \(предпериод\)\. Примеры: • $\dfrac{5}{6} = 0{,}8333\dots = 0{,}8(3)$ \(«ноль целых, восемь десятых и три в периоде»\)\. #### Почему при делении всегда возникает период? 💡 При делении числителя $m$ на знаменатель $n$ столбиком количество возможных различных остатков ограничено \(все они строго меньше $n$\)\. Если деление не закончилось нулем, то максимум через $n - 1$ шагов какой\-то остаток неизбежно повторится\. С этого момента заново начнут повторяться и цифры в частном — образуется период\! ### Алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/desyatichnoe_razlozhenie_ratsionalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/desyatichnoe_razlozhenie_ratsionalnyh_chisel). Любую периодическую десятичную дробь можно перевести обратно в обыкновенную дробь\. В 7 классе для этого используется удобное алгебраическое правило через уравнение\. #### Алгебраический способ перевода через уравнение Чтобы перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную, придерживайтесь пошагового алгоритма: ### Порядок действий: **Обозначьте искомую дробь за переменную **$x$**:** Например, пусть $x = 0{,}2(18) = 0{,}2181818\dots$ **Умножьте **$x$** на **$10^k$**, чтобы сдвинуть запятую к началу периода:** Если до периода стоит $1$ цифра, умножаем на $10$: $10x = 2{,}181818\dots$ **Умножьте **$x$** на степень десятки, чтобы сдвинуть запятую на один полный период вправо:** Так как период состоит из $2$ цифр, умножаем первое выражение еще на $100$ \(или исходный $x$ на $1000$\): $1000x = 218{,}181818\dots$ **Вычтите первое уравнение из второго, чтобы взаимно уничтожить период:** $1000x - 10x = 218{,}181818\dots - 2{,}181818\dots$ $990x = 216 \implies x = \dfrac{216}{990} = \dfrac{12}{55}$\. #### Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе\. **Задание:** Разложите обыкновенную дробь $\dfrac{7}{11}$ в десятичную и укажите её период\. **Подробное решение:** 1\) Поделим числитель $7$ на знаменатель $11$ уголком: • $7 : 11 = 0$ \(остаток $7$\)\. Поставим запятую\. • $70 : 11 = 6$ \(остаток $4$\)\. • $40 : 11 = 3$ \(остаток $7$\)\. • $70 : 11 = 6$ \(остаток $4$\) и так далее\. 2\) Отрезок остатков $7 \to 4 \to 7 \to 4$ зациклился\. В частном повторяется пара цифр $63$\. 3\) Записываем десятичное разложение: $\dfrac{7}{11} = 0{,}636363\dots = 0{(63)}$ **Ответ:** $0{(63)}$; период равен $63$\. **Задание:** Запишите периодическую десятичную дробь $0{(45)}$ в виде несократимой обыкновенной дроби\. **Подробное решение:** 1\) Обозначим $x = 0{(45)} = 0{,}454545\dots$ 2\) Умножим обе части уравнения на $100$ \(так как в периоде $2$ цифры\): $100x = 45{,}454545\dots$ 3\) Вычтем исходное уравнение из второго: $100x - x = (45{,}454545\dots) - (0{,}454545\dots)$ $99x = 45 \implies x = \dfrac{45}{99}$ 4\) Сократим полученную обыкновенную дробь на $9$: $x = \dfrac{45 : 9}{99 : 9} = \dfrac{5}{11}$ **Ответ:** $\dfrac{5}{11}$\. ## Тренажёры по десятичному разложению на Экзамео Закрепите правила десятичного разложения и перевода периодических дробей с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме **«Десятичное разложение рациональных чисел» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по математике и алгебре \(учебники Макарычева, Мордковича, Мерзляка, Никольского\)\. В базе платформы представлены сотни упражнений разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по алгебре на **Экзамео**, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно сдавайте любые контрольные работы и экзамены\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/desyatichnoe_razlozhenie_ratsionalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/desyatichnoe_razlozhenie_ratsionalnyh_chisel).