> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Формулы сокращённого умножения\(ФСУ\) \- тема 7 класса На этой странице представлен разбор темы **«Формулы сокращённого умножения» по алгебре для 7 класса**\. Методисты платформы Экзамео разработали этот практический материал для подготовки к самостоятельным и контрольным работам по ФСУ, быстрого устного счёта и подготовке к ОГЭ по математике\. Тема «Формулы сокращённого умножения» \(ФСУ\) — одна из самых главных во всем школьном курсе математики 7 класса\. Знание этих тождеств позволяет мгновенно раскладывать многочлены на множители, сокращать сложные дроби, возводить числа в квадрат без калькулятора и легко решать квадратные уравнения и неравенства в старших классах\. ## Таблица формул сокращённого умножения для 7 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya). Ниже приведена систематизированная таблица со всеми формулами сокращённого умножения, изучаемыми в 7 классе\. Как минимум первые три формулы нужно выучить, потому что они будут встречаться везде \- начиная с 7 класса и заканчивая ОГЭ и ЕГЭ по математике\. В 7 классе вы будете встречать задачи на формулы с кубами, однако потом их будет становиться очень мало ##### Название формулы ##### Математическая формула \(тождество\) Квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ Квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ Разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ Куб суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ Куб разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ Сумма кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ Разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ В 7 классе, после прохождения темы формулы сокращенного умножения по алгебре у ребят очень часто возникает два вида ошибок \- давайте разберём их и постараемся избегать при решении самостоятельных и контрольных работ\. #### Самая частая ошибка 7 класса\! ⚠️ Не путайте **«квадрат разности»** $(a - b)^2$ и **«разность квадратов»** $a^2 - b^2$\! $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — это квадрат скобки с двумя слагаемыми внутри\. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ — это вычитание двух отдельных квадратов\. ##### Запомните: $$ (a + b)^2 \neq a^2 + b^2 $$ Потеря удвоенного произведения $2ab$ — главная причина потери баллов на контрольных работах\! #### Применение формул для устного счёта и упрощения вычислений Формулы сокращённого умножения созданы не только для буквенных выражений\. Одно из их главных практических применений — молниеносный устный счёт и упрощение сложных числовых выражений без столбика и калькулятора\. ##### Быстрое возведение чисел в квадрат с использованием квадрата суммы и разности Любое круглое число легко представить в виде суммы или разности удобных слагаемых и применить формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$: **• Вычисление **$51^2$**:** Представим $51$ как $(50 + 1)$\. Применяем квадрат суммы: $$ 51^2 = (50 + 1)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601 $$ **• Вычисление **$69^2$**:** Представим $69$ как $(70 - 1)$\. Применяем квадрат разности: $$ 69^2 = (70 - 1)^2 = 70^2 - 2 \cdot 70 \cdot 1 + 1^2 = 4900 - 140 + 1 = 4761 $$ ##### Быстрое умножение близких чисел \(Разность квадратов\) Если нужно перемножить два числа, одинаково удаленных от круглого числа, используем формулу разности квадратов в обратную сторону: $$ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $$ **• Вычисление **$79 \cdot 81$**:** Заметим, что числа симметричны относительно $80$: $79 = (80 - 1)$, а $81 = (80 + 1)$\. $$ 79 \cdot 81 = (80 - 1)(80 + 1) = 80^2 - 1^2 = 6400 - 1 = 6399 $$ **• Вычисление **$48 \cdot 52$**:** Числа симметричны относительно $50$: $48 = (50 - 2)$, а $52 = (50 + 2)$\. $$ 48 \cdot 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 50^2 - 2^2 = 2500 - 4 = 2496 $$ ##### Быстрое вычисление сложнейших численных дробей На контрольных работах в 7 классе часто встречаются дроби с большими квадратами\. Использование разности квадратов экономит время и бережёт от ошибок: **• Найти значение выражения **$\dfrac{73^2 - 27^2}{100}$**:** Раскладываем числитель по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ \dfrac{73^2 - 27^2}{100} = \dfrac{(73 - 27)(73 + 27)}{100} = \dfrac{46 \cdot 100}{100} = 46 $$ ### Пошаговый алгоритм применения ФСУ При выполнении заданий на формулы сокращённого умножения за 7 класс придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya). **Определите тип задачи:** что требуется сделать — раскрыть скобки \(превратить произведение в многочлен\) или разложить на множители \(превратить многочлен в произведение\)? **Найдите компоненты **$a$** и **$b$**:** четко выделите первого и второго участников формулы \(обратите внимание на коэффициенты и степени, например: в выражении $(3x^2 - 4y)^2$ компоненты $a = 3x^2$, $b = 4y$\)\. **Примените соответствующее тождество:** аккуратно распишите формулу со скобками, уделяя особое внимание удвоенному произведению $2ab$ или неполному квадрату\. **Упростите полученные выражения:** возведите коэффициенты в степени и приведите подобные слагаемые\. ### Разбор типовых примеров из контрольных работ на ФСУ 7 класса Рассмотрите решения типичных заданий, которые регулярно встречаются на самостоятельных и контрольных работах по алгебре в 7 классе\. **Задание:** Упростите выражение: $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)(2x + 3y)$\. **Подробное решение:** 1\) Раскрываем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$\(2x \+ 3y\)^2 = \(2x\)^2 \+ 2 \\cdot 2x \\cdot 3y \+ \(3y\)^2 = 4x^2 \+ 12xy \+ 9y^2$$ 2\) Вторую пару скобок сворачиваем по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$\(2x \- 3y\)\(2x \+ 3y\) = \(2x\)^2 \- \(3y\)^2 = 4x^2 \- 9y^2$$ 3\) Подставляем полученные выражения назад, учитывая знак минус перед второй частью: $$\(4x^2 \+ 12xy \+ 9y^2\) \- \(4x^2 \- 9y^2\) = 4x^2 \+ 12xy \+ 9y^2 \- 4x^2 \+ 9y^2$$ 4\) Приводим подобные слагаемые \($4x^2 - 4x^2 = 0$\): $$12xy \+ 18y^2$$ **Ответ:** $12xy + 18y^2$\. **Задание:** Разложите многочлен на множители: $27a^3 - 8b^3$\. **Подробное решение:** 1\) Заметим, что $27a^3 = (3a)^3$, а $8b^3 = (2b)^3$\. Перед нами разность кубов $a^3 - b^3$\. 2\) Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$27a^3 \- 8b^3 = \(3a\)^3 \- \(2b\)^3 = \(3a \- 2b\)\(\(3a\)^2 \+ 3a \\cdot 2b \+ \(2b\)^2\)$$ 3\) Возводим коэффициенты в квадрат внутри второй скобки: $$\(3a \- 2b\)\(9a^2 \+ 6ab \+ 4b^2\)$$ **Ответ:** $(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$\. ## Тренажёры по формулам сокращённого умножения на Экзамео Доведите знание формул сокращённого умножения до автоматизма с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, самостоятельные и контрольные карточки по теме **«Формулы сокращённого умножения» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya).