> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_raznosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_raznosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задания на разность квадратов: формула и онлайн\-тренажёры **Формула разности квадратов** — одна из самых востребованных и простых для запоминания формул сокращённого умножения \(ФСУ\) в курсе алгебры за 7 класс\. В отличие от квадрата суммы или квадрата разности, здесь при раскрытии скобок полностью отсутствуют удвоенные произведения, что делает вычисления быстрыми и наглядными\. На уроках математики, контрольных работах, а также в экзаменационных заданиях ОГЭ и ЕГЭ эта формула применяется повсеместно: для моментального разложения многочленов на множители, сокращения дробей, устного умножения больших чисел и решения уравнений\. Ниже представлены подробный теоретический разбор, геометрическое доказательство формулы, пошаговые эталоны решений всех типов практических **заданий на разность квадратов за 7 класс**, анализ типичных ошибок и интерактивные [онлайн\-тренажёры на формулы сокращённого умножения](#trenazher-zadaniya-na-raznost-kvadratov-ekzameo) с моментальной проверкой ответов\.  ##### Ключевая суть: формула разности квадратов **Разность квадратов двух выражений** равна произведению разности этих выражений и их суммы: $$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$ • **Прямое действие \(сворачивание скобок\):** умножение разности двух выражений на их сумму даёт разность их квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$\. Промежуточные слагаемые $+ab$ и $-ba$ взаимно уничтожаются\. • **Обратное действие \(разложение на множители\):** двучлен $a^2 - b^2$ раскладывается на две скобки: разность первых степеней и их сумму\. Это главный инструмент для сокращения алгебраических дробей\. • **Принципиальная разница понятий:** никогда не путайте **разность квадратов** \($a^2 - b^2$\) и **квадрат разности** \($(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$\)\. Это абсолютно разные математические выражения\! Формулу разности квадратов легко доказать геометрически через площади плоских фигур: 1\. Возьмём большой квадрат со стороной $a$\. Его площадь равна $S_{\text{бол}} = a^2$\. 2\. В углу большого квадрата вырежем маленький квадрат со стороной $b$\. Площадь вырезанной части равна $S_{\text{мал}} = b^2$\. 3\. Оставшаяся фигура \(ступенчатый многоугольник\) имеет площадь $S = a^2 - b^2$\. 4\. Разрежем полученную фигуру на две трапеции \(или два прямоугольника со сторонами $(a - b)$ и $a$, а также $(a - b)$ и $b$\) и сложим их вместе вдоль стороны разреза\. Получится один большой сплошной прямоугольник со сторонами $(a - b)$ и $(a + b)$\. 5\. Площадь этого прямоугольника равна произведению длины на ширину: $(a - b)(a + b)$\. Так как площадь фигуры при перекладывании частей не изменилась, получаем тождество: $$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$ \[Место для иллюстрации: Наглядная геометрическая схема: квадрат a^2 с вырезанным уголком b^2 перестраивается в прямоугольник со сторонами \(a \- b\) и \(a \+ b\)\] ## Методы решения заданий на разность квадратов > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_raznosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_raznosti). В школьной алгебре 7 класса задания на формулу разности квадратов делятся на четыре основных практических направления: ##### Разложение двучлена на множители Преобразование разности двух выражений во второй степени в произведение двух скобок: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$\. Из каждого слагаемого извлекается квадратный корень, после чего записываются разность и сумма найденных выражений\. ##### Сворачивание произведения в разность квадратов Перемножение скобок вида $(a - b)(a + b)$ без раскрытия фонтанчиком\. Ориентир всегда берётся по скобке с минусом: каждое слагаемое из неё возводится в квадрат: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$\. ##### Сокращение дробей и решение уравнений Разложение числителя или знаменателя на множители позволяет сокращать одинаковые линейные двучлены\. В неполных квадратных уравнениях вида $x^2 - a^2 = 0$ формула сразу даёт корни: $x = \pm a$\. ##### Быстрый устный счёт больших чисел Вычисление разности квадратов больших чисел без возведения в квадрат: $85^2 - 15^2 = (85 - 15)(85 + 15) = 70 \cdot 100 = 7000$, либо умножение симметричных чисел: $79 \cdot 81 = (80 - 1)(80 + 1) = 6400 - 1 = 6399$\. ## Задания на разность квадратов с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений ключевых практических заданий по алгебре за 7 класс, охватывающие все стандартные формулировки самостоятельных и контрольных работ\. **Условие:** Разложите на множители двучлен $49x^2 - 64y^4$\. **Пошаговое решение:** 1\) Представим каждое слагаемое в виде полного квадрата одночлена: • Для первого члена: $49x^2 = 7^2 \cdot x^2 = (7x)^2$\. • Для второго члена: $64y^4 = 8^2 \cdot (y^2)^2 = (8y^2)^2$\. 2\) Запишем разность квадратов: $$ 49x^2 - 64y^4 = (7x)^2 - (8y^2)^2 $$ 3\) Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 7x$, а $b = 8y^2$: $$ (7x)^2 - (8y^2)^2 = (7x - 8y^2)(7x + 8y^2) $$ **Ответ:** $(7x - 8y^2)(7x + 8y^2)$\. **Условие:** Выполните умножение многочленов: $(5b + 3a)(3a - 5b)$\. **Пошаговое решение:** 1\) Обратите внимание на порядок слагаемых: в скобке со знаком плюс слагаемые можно поменять местами от перемены мест слагаемых: $$ (5b + 3a) = (3a + 5b) $$ 2\) Перепишем произведение в стандартном виде формулы: $$ (3a + 5b)(3a - 5b) $$ 3\) Ориентируемся строго по скобке с минусом $(3a - 5b)$ и возводим каждое слагаемое в квадрат: $$ (3a)^2 - (5b)^2 = 9a^2 - 25b^2 $$ **Ответ:** $9a^2 - 25b^2$\. **Условие:** Сократите дробь $\dfrac{x^2 - 25}{3x + 15}$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Разложим числитель:** Заметим формулу разности квадратов: $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$\. 2\) **Разложим знаменатель:** Вынесем общий множитель $3$ за скобки: $3x + 15 = 3(x + 5)$\. 3\) **Запишем преобразованную дробь:** $$ \dfrac{x^2 - 25}{3x + 15} = \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{3(x + 5)} $$ 4\) **Выполним сокращение:** Сократим числитель и знаменатель на одинаковый множитель $(x + 5)$ при условии $x \neq -5$: $$ \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{3(x + 5)} = \dfrac{x - 5}{3} $$ **Ответ:** $\dfrac{x - 5}{3}$\. **Условие:** Найдите значение числового выражения $\dfrac{73^2 - 27^2}{46}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Возводить числа $73$ и $27$ в квадрат столбиком долго и трудоёмко\. Применим в числителе формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ 73^2 - 27^2 = (73 - 27)(73 + 27) $$ 2\) Вычислим значения в скобках устно: • Первая скобка: $73 - 27 = 46$\. • Вторая скобка: $73 + 27 = 100$\. 3\) Подставим полученное произведение в исходную дробь: $$ \dfrac{73^2 - 27^2}{46} = \dfrac{46 \cdot 100}{46} $$ 4\) Сократим дробь на число $46$: $$ \dfrac{46 \cdot 100}{46} = 100 $$ **Ответ:** 100\. **Условие:** Решите уравнение $(2x + 1)^2 - 36 = 0$\. **Пошаговое решение:** 1\) Заметим, что число $36 = 6^2$\. Перед нами разность квадратов двух выражений: $a = 2x + 1$ и $b = 6$: $$ (2x + 1)^2 - 6^2 = 0 $$ 2\) Разложим левую часть уравнения на множители: $$ ((2x + 1) - 6)((2x + 1) + 6) = 0 $$ 3\) Упростим выражения в скобках: $$ (2x - 5)(2x + 7) = 0 $$ 4\) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ 2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_1 = 2{,}5 $$ $$ 2x + 7 = 0 \implies 2x = -7 \implies x_2 = -3{,}5 $$ **Ответ:** $-3{,}5;\ 2{,}5$\. ### Типичные ошибки в заданиях на разность квадратов > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_raznosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_raznosti). При выполнении проверочных и самостоятельных работ по алгебре учащиеся чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Путаница разности квадратов и квадрата разности Выражение $a^2 - b^2$ ошибочно сворачивают в $(a - b)^2$\. Помните: $a^2 - b^2$ всегда даёт **две скобки с разными знаками** $(a - b)(a + b)$, а одна скобка в квадрате раскрывается в трёхчлен с удвоенным произведением $a^2 - 2ab + b^2$\. ##### Забытое извлечение корня из коэффициента Раскладывая выражение $16x^2 - 9$, пишут $(16x - 9)(16x + 9)$\. Это грубая ошибка\! Корень необходимо извлекать из каждого элемента: $16x^2 = (4x)^2$ и $9 = 3^2$, поэтому верное разложение: $(4x - 3)(4x + 3)$\. ##### Попытка разложить сумму квадратов Выражение вида $a^2 + b^2$ пытаются разложить как $(a + b)(a + b)$ или $(a + b)^2$\. Запомните: в действительных числах сумма квадратов на линейные множители **не раскладывается**\. Формула работает строго при знаке минус между квадратами\! ##### Ошибки со знаками при перемене мест В произведении $(b - a)(a + b)$ ориентируются по плюсовой скобке и ошибочно записывают $a^2 - b^2$\. Знак разности всегда определяется **скобкой с минусом**: $(b - a)(b + a) = b^2 - a^2$\. ## Тренажёры на разность квадратов и формулы сокращённого умножения Интерактивные онлайн\-тренажёры по теме «Разность квадратов» на платформе Экзамео позволяют довести применение формул сокращённого умножения до автоматизма\. Решайте примеры на разложение многочленов, сокращайте алгебраические дроби, получайте мгновенную проверку ответов и уверенно готовьтесь к проверочным работам по алгебре и экзаменам ОГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_raznosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_raznosti).