> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_summy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_summy). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Квадрат суммы \- задания с решениями и решениями **Формула квадрата суммы** — базовая основа темы «Формулы сокращённого умножения» \(ФСУ\) в курсе алгебры за 7 класс\. Знание этой формулы позволяет мгновенно возводить сумму выражений во вторую степень в уме, не тратя время на громоздкое почленное перемножение скобок вида $(a + b)(a + b)$\. На уроках алгебры, проверочных тестах и в экзаменационных заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике квадрат суммы применяется повсеместно: для быстрого раскрытия скобок, разложения многочленов на множители, сокращения дробей, решения квадратных уравнений и вычисления квадратов чисел без калькулятора\. Ниже представлены наглядный геометрический вывод формулы, правила работы с числовыми и буквенными коэффициентами, пошаговые разборы всех основных типов заданий на квадрат суммы, анализ типичных ошибок и интерактивные [онлайн\-тренажёры на ФСУ](#trenazher-kvadrat-summy-ekzameo) для автоматической отработки навыка с моментальной проверкой ответов\. \[Место для иллюстрации: Формула квадрата суммы \(a \+ b\)^2 = a^2 \+ 2ab \+ b^2 с цветным выделением первого квадрата, удвоенного произведения и второго квадрата\] ## Квадрат суммы \- формула > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_summy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_summy). **Квадрат суммы двух выражений** равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения: $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ • **Прямое действие \(раскрытие скобок\):** переход от произведения $(a + b)^2$ к трёхчлену $a^2 + 2ab + b^2$\. Используется для преобразования и упрощения выражений\. • **Обратное действие \(сворачивание в полный квадрат\):** представление трёхчлена $a^2 + 2ab + b^2$ в виде квадрата двучлена $(a + b)^2$\. Используется для разложения на множители, сокращения дробей и выделения полного квадрата\. • **Главная ловушка:** сумма квадратов **не равна** квадрату суммы\! Запомните: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$, между ними всегда обязано стоять удвоенное произведение $2ab$\. Формулу квадрата суммы легко доказать не только алгебраически \(умножением скобки на скобку $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$\), но и наглядно через площадь геометрических фигур: 1\. Построим большой квадрат со стороной $(a + b)$\. Площадь этого квадрата равна квадрату его стороны: $S = (a + b)^2$\. 2\. Разобьём каждую сторону квадрата на два отрезка длиной $a$ и $b$ и проведём через точки деления прямые, параллельные сторонам\. 3\. Внутри большого квадрата образуются четыре непересекающиеся фигуры: • первый квадрат со стороной $a$ и площадью $S_1 = a^2$; • второй квадрат со стороной $b$ и площадью $S_2 = b^2$; • два равных прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, площадь каждого из которых равна $S_3 = S_4 = ab$\. 4\. Суммарная площадь большого квадрата равна сумме площадей всех четырёх внутренних частей: $$ S = S_1 + S_3 + S_4 + S_2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ \[Место для иллюстрации: Геометрическая схема квадрата со стороной \(a \+ b\), разделённого на квадрат a^2, квадрат b^2 и два прямоугольника площадью ab\] ### Методы решения заданий на формулу квадрата суммы В школьной программе 7 класса и в экзаменационных заданиях преобразования с формулой квадрата суммы делятся на четыре ключевых практических направления: ##### Раскрытие скобок Прямое применение формулы: возведение в квадрат двучленов с переменными и числовыми коэффициентами \(например, $(3x + 4y)^2$\)\. Требует аккуратного возведения чисел в квадрат \($3^2 = 9$\) и вычисления удвоенного произведения \($2 \cdot 3x \cdot 4y = 24xy$\)\. ##### Сворачивание трёхчлена Обратная операция: распознавание в трёхчлене $a^2 + 2ab + b^2$ квадрата двучлена $(a + b)^2$\. Применяется для разложения многочленов на множители, решения квадратных уравнений и доказательства алгебраических неравенств\. ##### Упрощение и сокращение дробей В алгебраических дробях числитель или знаменатель сворачивают по формуле квадрата суммы, после чего сокращают дробь на общий множитель первой степени, существенно упрощая исходное выражение\. ##### Быстрый устный счёт чисел Квадрат любого двузначного числа легко находится в уме без калькулятора: число раскладывают на сумму круглого числа и остатка, например: $62^2 = (60 + 2)^2 = 3600 + 240 + 4 = 3844$\. #### Задания на квадрат суммы с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений ключевых практических заданий, охватывающих все стандартные формулировки самостоятельных и контрольных работ\. **Условие:** Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение $(3x + 4y)^2$\. **Пошаговое решение:** 1\) Выделим первое и второе слагаемые в скобках: • Первое выражение: $a = 3x$\. • Второе выражение: $b = 4y$\. 2\) Запишем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$\. 3\) Подставим выражения в формулу, помещая каждое слагаемое в скобки перед возведением в степень: $$ (3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 $$ 4\) Выполним последовательные вычисления: • Квадрат первого выражения: $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$\. • Удвоенное произведение: $2 \cdot 3x \cdot 4y = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot xy = 24xy$\. • Квадрат второго выражения: $(4y)^2 = 4^2 \cdot y^2 = 16y^2$\. 5\) Соберём полученный многочлен: $$ (3x + 4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2 $$ **Ответ:** $9x^2 + 24xy + 16y^2$\. **Условие:** Разложите трёхчлен на множители, представив его в виде квадрата двучлена: $25a^2 + 70ab + 49b^2$\. **Пошаговое решение:** 1\) Проверим крайние слагаемые на точные квадраты: • $25a^2 = (5a)^2 \implies$ первое выражение равно $5a$\. • $49b^2 = (7b)^2 \implies$ второе выражение равно $7b$\. 2\) Проверим среднее слагаемое на соответствие удвоенному произведению: $$ 2 \cdot (5a) \cdot (7b) = (2 \cdot 5 \cdot 7) \cdot ab = 70ab $$ Удвоенное произведение в точности совпадает со средним членом исходного выражения \($70ab = 70ab$\)\. 3\) Так как все три члена удовлетворяют структуре $a^2 + 2ab + b^2$, сворачиваем выражение в квадрат суммы: $$ 25a^2 + 70ab + 49b^2 = (5a + 7b)^2 $$ **Ответ:** $(5a + 7b)^2$\. **Условие:** Упростите алгебраическое выражение и найдите его значение при $x = -2$: $$ (2x + 3)^2 - 4x(x + 3) $$ **Пошаговое решение:** 1\) Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9 $$ 2\) Раскроем вторую скобку, умножив одночлен $-4x$ на каждое слагаемое внутри скобок: $$ -4x(x + 3) = -4x \cdot x - 4x \cdot 3 = -4x^2 - 12x $$ 3\) Запишем всё выражение целиком и приведём подобные слагаемые: $$ (4x^2 + 12x + 9) - 4x^2 - 12x = (4x^2 - 4x^2) + (12x - 12x) + 9 = 9 $$ 4\) В результате взаимного уничтожения слагаемых с переменной $x$ выражение оказалось тождественно равно числу $9$\. Значение выражения не зависит от $x$ и при $x = -2$ также равно $9$\. **Ответ:** 9\. **Условие:** Вычислите значение выражения $62^2$, используя формулу квадрата суммы\. **Пошаговое решение:** 1\) Представим число $62$ в виде суммы удобного круглого числа и остатка: $$ 62 = 60 + 2 $$ 2\) Запишем квадрат этой суммы и применим формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ 62^2 = (60 + 2)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 2 + 2^2 $$ 3\) Выполним устные вычисления для каждого члена: • $60^2 = 3600$; • $2 \cdot 60 \cdot 2 = 240$; • $2^2 = 4$\. 4\) Сложим полученные результаты: $$ 3600 + 240 + 4 = 3844 $$ **Ответ:** 3844\. **Условие:** Сократите дробь $\dfrac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Преобразуем числитель:** Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$\. 2\) **Преобразуем знаменатель:** Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2x + 6 = 2(x + 3)$\. 3\) **Запишем преобразованную дробь:** $$ \dfrac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6} = \dfrac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} $$ 4\) **Выполним сокращение:** Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $(x + 3)$ при условии $x \neq -3$: $$ \dfrac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \dfrac{x + 3}{2} \quad \text{или} \quad 0{,}5x + 1{,}5 $$ **Ответ:** $\dfrac{x + 3}{2}$\. #### Типичные ошибки при выполнении заданий на квадрат суммы При выполнении проверочных работ по алгебре учащиеся чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Потеря удвоенного произведения Самая распространённая ошибка в школьной алгебре — запись $(a + b)^2 = a^2 + b^2$\. Школьники просто возводят в квадрат каждое слагаемое, полностью забывая про средний член $2ab$\. Запомните: скобка во второй степени всегда даёт **трёхчлен**\! ##### Невозведение числового коэффициента в квадрат При возведении в квадрат одночлена с числом пишут $(3x)^2 = 3x^2$ вместо $9x^2$ или $(5y)^2 = 5y^2$ вместо $25y^2$\. Квадрат за скобкой относится **ко всему выражению**: и к переменной, и к числовому множителю перед ней\. ##### Ошибки со знаком минус перед формулой В выражениях вида $-(x + 4)^2$ сначала раскрывают формулу, не поставив промежуточные скобки: $-x^2 + 8x + 16$\. Это неверно\! Знак минус перед выражением меняет знаки **всех трёх слагаемых**: $-(x^2 + 8x + 16) = -x^2 - 8x - 16$\. ##### Сворачивание без проверки удвоенного произведения Видя выражение $x^2 + 10x + 16$, его ошибочно сворачивают в $(x + 4)^2$, ориентируясь только на $x^2$ и $16 = 4^2$\. Но удвоенное произведение должно быть $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$, а не $10x$\. Всегда перепроверяйте средний член перед сворачиванием\. ## Тренажёры на квадрат суммы и формулы сокращённого умножения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_summy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_summy). Интерактивные онлайн\-тренажёры по теме «Квадрат суммы» и формулам сокращённого умножения \(ФСУ\) на образовательной платформе Экзамео позволяют быстро закрепить технику раскрытия скобок и разложения на множители\. Тренируйтесь преобразовывать алгебраические выражения, получайте мгновенный отклик системы и учитесь безошибочно применять формулы на уроках алгебры и экзаменах ОГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_summy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/kvadrat_summy).