> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_diofantovy_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_diofantovy_uravneniya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Линейные диофантовы уравнения \- алгоритм и примеры На этой странице собраны подробные учебные материалы по алгебре и олимпиадной математике **«Линейные диофантовы уравнения» \(уравнения в целых числах\)** для **7 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео подготовили захватывающий практический справочник с историческими фактами, понятными схемами и алгоритмами, чтобы помочь семиклассникам освоить подходы к решению уравнений с несколькими неизвестными в целых числах и подготовиться к успеху на олимпиадах\! В 7 классе диофантовы уравнения — это первый шаг в настоящую «взрослую» математику: они учат смотреть на уравнения под новым углом, соединяя стандартную алгебру с делимостью, логикой и свойствами целых чисел\. ## Что такое диофантово уравнение и почему оно особенное? — 7 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_diofantovy_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_diofantovy_uravneniya). Обычно в 7 классе мы привыкли, что одно уравнение с двумя неизвестными \(например, $2x + 3y = 12$\) имеет бесконечно много решений среди любых дробных чисел\. Но в **диофантовых уравнениях** правила меняются\! • **Определение:** **Линейное диофантово уравнение** — это уравнение вида $ax + by = c$, где коэффициенты $a, b, c$ — целые числа, и его решения $(x; y)$ требуется найти **исключительно в целых \(или натуральных\) числах**; • **Главный секрет делимости:** уравнение $ax + by = c$ имеет решения в целых числах только тогда, когда свободный член $c$ нацело делится на наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ — $\gcd(a, b)$; • **Олимпиадный секрет:** так как предметы в реальности нельзя разрезать \(нельзя купить $1,5$ машины или $\frac{2}{3}$ человека\), именно к диофантовым уравнениям сводится большинство математических головоломок\. #### Интересный факт из истории: Задачи такого типа умели решать еще в Древнем Вавилоне более $4000$ лет назад\! А назвал их в честь себя древнегреческий математик **Диофант Александрийский** \(III век н\.э\.\), который описал общие способы их решения в своей знаменитой книге «Арифметика»\. ### Где линейные диофантовы уравнения встречаются в жизни? Посмотрим, где мы сталкиваемся с уравнениями в целых числах в реальных жизненных ситуациях: ##### 1\. Покупки и размен денег 💵 Оплата товара купюрами определённых номиналов без сдачи\. *Пример:* Набрать покупку на $170\text{ рублей}$ монетами по $20\text{ руб}$ и $50\text{ руб}$: $20x + 50y = 170$\. ##### 2\. Упаковка и фасовка 📦 Фасовка предметов по упаковкам разной вместимости\. *Пример:* Разложить $100\text{ кг}$ конфет в большие коробки по $8\text{ кг}$ и малые по $5\text{ кг}$ ровно без остатка: $8x + 5y = 100$\. ##### 3\. Подсчёт очков в спорте 🏆 Подсчёт результатов соревнований\. *Пример:* Набрать $23$ очка в баскетболе, забивая только $2$\-очковые и $3$\-очковые броски: $2x + 3y = 23$\. ### 3 простейших метода решения диофантовых уравнений в 7 классе > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_diofantovy_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_diofantovy_uravneniya). Для семиклассников существует 3 доступных и эффективных метода решения диофантовых уравнений вида $ax + by = c$: ##### Метод ##### Суть метода ##### Когда удобно применять **1\. Выражение переменной и выделение целой части** Выражаем переменную с меньшим коэффициентом \(например $y = \dfrac{c - ax}{b}$\), выделяем целые числа и требуем, чтобы остаток был целым\. Универсальный метод для большинства задач\. **2\. Анализ чётности и последней цифры** Используем свойства чётности \(четное \+ нечётное = нечётное\) или окончание чисел на $0$ и $5$ \(при коэффициенте $5$ или $10$\)\. Когда один из коэффициентов равен $2, 5$ или $10$\. **3\. Ограниченный перебор** Оцениваем границы возможного изменения $x$ или $y$ \(например, $5x \le 34 \implies x \le 6$\) и перебираем единичные варианты\. Когда ищутся решения только в **натуральных числах**\. #### Пошаговый алгоритм решения диофантова уравнения Чтобы быстро и без ошибок решить линейное диофантово уравнение в 7 классе, придерживайтесь этого порядка действий: ### Порядок действий: **Проверьте делимость:** найдите $\gcd(a, b)$\. Если свободный член $c$ не делится на $\gcd(a, b)$, сразу пишите: *«Решений в целых числах нет»*\. **Выразите одну переменную через другую:** лучше выражать ту букву, перед которой стоит меньший коэффициент\. **Найдите подбором первое частное решение **$(x_0, y_0)$, удовлетворяющее условию целых чисел\. **Запишите общую формулу всех решений:** $x = x_0 + bk$, $y = y_0 - ak$ \(где $k \in \mathbb{Z}$\) или отберите варианты, если требуются только положительные натуральные числа\. ##### Разбор задач на диофантовы уравнения Рассмотрите подробные образцы решения олимпиадных задач на диофантовы уравнения из программы 7 класса\. **Условие:** Школьник купил несколько пирожных по $40\text{ рублей}$ и несколько банок сока по $25\text{ рублей}$, потратив ровно $230\text{ рублей}$\. Сколько пирожных и соков он мог купить? **Подробное решение:** 1\) **Составим уравнение в натуральных числах:** Пусть $x$ — количество пирожных \($x \in \mathbb{N}$\), $y$ — количество банок сока \($y \in \mathbb{N}$\)\. $$40x \+ 25y = 230$$ 2\) **Упростим уравнение \(сократим обе части на **$5$**\):** $$8x \+ 5y = 46$$ 3\) **Используем метод анализа последней цифры:** Слагаемое $5y$ всегда оканчивается на $0$ или $5$\. Число $46$ оканчивается на $6$\. Значит, слагаемое $8x$ должно оканчиваться на $6$ \(так как $6 - 0 = 6$\) или на $1$ \(невозможно, $8x$ — чётное\)\. Чтобы $8x$ оканчивалось на $6$, значение $x$ может оканчиваться только на $2$ или $7$ \(ведь $8 \cdot 2 = 16$, $8 \cdot 7 = 56$\)\. 4\) **Проверим возможные варианты для **$x$**:** • Если $x = 2$: $8 \cdot 2 + 5y = 46 \implies 16 + 5y = 46 \implies 5y = 30 \implies y = 6$\. • Если $x = 7$: $8 \cdot 7 + 5y = 46 \implies 56 + 5y = 46 \implies 5y = -10$ \(не подходит, так как $y > 0$\)\. **Ответ:** Школьник купил $2$ пирожных и $6$ банок сока\. **Условие:** Найдите все пары целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющие уравнению $3x - 7y = 1$\. **Подробное решение:** 1\) **Выразим переменную **$x$** с меньшим коэффициентом \(**$3$**\):** $3x = 1 + 7y$ $x = \dfrac{1 + 7y}{3} = \dfrac{6y + y + 1}{3} = 2y + \dfrac{y + 1}{3}$ 2\) **Чтобы **$x$** был целым числом, дробь **$\dfrac{y + 1}{3}$** должна быть целым числом **$k \in \mathbb{Z}$**:** $\dfrac{y + 1}{3} = k \implies y + 1 = 3k \implies y = 3k - 1$ 3\) **Подставим **$y = 3k - 1$** в выражение для **$x$**:** $x = 2(3k - 1) + k = 6k - 2 + k = 7k - 2$ 4\) **Запишем общее решение в целых числах:** $x = 7k - 2$, $y = 3k - 1$, где $k \in \mathbb{Z}$\. *Примеры пар:* при $k = 0 \implies (-2; -1)$, при $k = 1 \implies (5; 2)$, при $k = -1 \implies (-9; -4)$\. **Ответ:** $x = 7k - 2$, $y = 3k - 1$, где $k \in \mathbb{Z}$\. ## Тренажёры по диофантовым уравнениям для 7 класса на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные онлайн\-тренажёры по теме **«Линейные диофантовы уравнения \(в целых числах\)» для 7 класса** с подробными авторскими объяснениями и автоматической проверкой ответов\. Задания на метод перебора, выделение целой части, свойства чётности и интересные олимпиадные текстовые задачи составлены в точном соответствии с требованиями математических олимпиад и ФГОС\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Диофантовы уравнения 7 класс»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, прокачивайте олимпиадное мышление и побеждайте на математических турнирах вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_diofantovy_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_diofantovy_uravneniya).