> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Линейные уравнения \- примеры и тренажёры с решениями На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Линейные уравнения с одним неизвестным»** для учащихся **7 класса**\. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь семиклассникам освоить базовые принципы решения уравнений первой степени, понять логику выполнения действий с неизвестными, выучить правила переноса слагаемых и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам по алгебре\. Уравнение — это фундаментальный инструмент алгебры\. С его помощью решаются практически любые математические, физические и прикладные задачи\. Наша главная цель при решении любого уравнения — избавиться от всех лишних чисел рядом с переменной и прийти к виду x = число\. ## Понятие линейного уравнения с одним неизвестным — 7 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym). **Линейным уравнением с одним неизвестным **$x$ называют уравнение вида $kx + b = 0$, где $k$ и $b$ — данные числа, либо любое другое уравнение, сводящееся к этому виду после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых\. • **Левая и правая части:** выражение слева от знака равенства называется левой частью, а выражение справа — правой частью уравнения; • **Коэффициент и свободный член:** число $k$ называется коэффициентом при неизвестном, а число $b$ — свободным членом\. **Примеры линейных уравнений:** 1\) $6x - 18 = 0$ — коэффициент $k = 6$, свободный член $b = -18$; 2\) $-4x + 12 = 0$ — коэффициент $k = -4$, свободный член $b = 12$; 3\) $5x = 0$ — коэффициент $k = 5$, свободный член $b = 0$\. ### Что значит решить уравнение? **Корнем \(или решением\) уравнения** называется такое число, при подстановке которого вместо $x$ получается верное числовое равенство\. **Решить уравнение** — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет вовсе\. ### Как изолировать x: четыре арифметических действия > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym). Чтобы решить уравнение, мы постепенно переносим все числа из одной части в другую, отделяя их от переменной $x$\. Главное правило: **при переносе через знак равенства действие всегда меняется на противоположное**\. Наша цель — шаг за шагом убрать всё лишнее от $x$ и прийти к итоговой форме $x = \text{число}$\. ##### 1\. Сложение \(Сумма\) ➕ Если к $x$ **прибавляется** число, мы переносим его на противоположную сторону со знаком **минус \(вычитание\)**\. $x + 5 = 12 \implies x = 12 - 5 \implies x = 7$ ##### 2\. Вычитание \(Разность\) ➖ Если из $x$ **вычитается** число, мы переносим его за знак равенства со знаком **плюс \(сложение\)**\. $x - 8 = 3 \implies x = 3 + 8 \implies x = 11$ ##### 3\. Умножение ✖️ Если $x$ **умножается** на коэффициент, мы **делим** обе части уравнения \(или правую часть\) на этот коэффициент\. $4x = 20 \implies x = 20 : 4 \implies x = 5$ ##### 4\. Деление ➗ Если $x$ **делится** на число \(стоят в знаменателе дроби\), мы **умножаем** противоположную часть на это число\. $\frac{x}{3} = 6 \implies x = 6 \cdot 3 \implies x = 18$ ### Равносильность уравнений и свойства преобразований Два уравнения называют **равносильными**, если они имеют совершенно одинаковые корни \(или если оба уравнения не имеют корней\)\. При решении мы переходим от одного уравнения к другому с помощью трёх главных утверждений о равносильности: ##### Три правила равносильных преобразований 1\. **Умножение и деление:** Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, получится уравнение, равносильное исходному\. 2\. **Перенос слагаемых:** Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, получится уравнение, равносильное исходному\. 3\. **Приведение подобных:** Если в левой или правой части уравнения привести подобные слагаемые, получится уравнение, равносильное исходному\. ### Сколько корней может иметь линейное уравнение? Рассмотрим общее уравнение $kx + b = 0$\. Количество его решений строго зависит от коэффициентов $k$ и $b$: ##### Условие для k и b ##### Вид уравнения ##### Число корней и решение $k \neq 0$ $kx = -b$ **Ровно один корень:** $x = -\frac{b}{k}$ $k = 0$ и $b \neq 0$ $0 \cdot x = -b$ **Нет корней** \(так как $0 \cdot x$ всегда $0 \neq -b$\) $k = 0$ и $b = 0$ $0 \cdot x = 0$ **Бесконечно много корней** \(подходит любое число\) ### Пошаговый алгоритм решения любого линейного уравнения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym). Чтобы без ошибок решать даже самые длинные уравнения со скобками и дробями в 7 классе, придерживайтесь этой инструкции: ### Порядок действий: **Избавьтесь от дробных знаменателей \(если они есть\):** умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель\. **Раскройте все скобки:** используя распределительное свойство умножения\. **Сгруппируйте слагаемые:** перенесите все слагаемые с переменной $x$ в **левую часть**, а все обычные числа — в **правую часть** \(меняя знаки переносимых чисел\!\)\. **Приведите подобные слагаемые** и разделите обе части на коэффициент при $x$, получив финальное равенство $x = \text{число}$\. #### Типичные ошибки семиклассников При решении линейных уравнений ученики 7 класса чаще всего допускают следующие две ошибки: ##### Забывание смены знака при переносе Забыть поменять знак слагаемого на противоположный при переносе из одной части уравнения в другую \(например, написать $3x + 6 = 0 \implies 3x = 6$ ❌\)\. Напоминаем: переносимое число **обязательно меняет знак**: $3x = -6$ ✅\! ##### Ошибка при раскрытии скобок со знаком «минус» Забывать сменить знаки у ВСЕХ слагаемых внутри скобок, если перед скобкой стоит минус: $-(2x - 5) = -2x + 5$\! Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах, чтобы правильно выполнять задачи\. ##### Разбор примеров решения линейных уравнений для 7 класса Рассмотрите примеры решения и оформления уравнений из учебника алгебры 7 класса — они помогут разобраться с порядком действий\. **Задание:** Решите уравнение: $4(x - 3) = 2x + 6$\. **Подробное решение:** 1\) **Раскроем скобки в левой части:** $4x - 12 = 2x + 6$\. 2\) **Перенесём слагаемые с переменной влево, а числа вправо:** $4x - 2x = 6 + 12$\. 3\) **Приведём подобные слагаемые:** $2x = 18$\. 4\) **Разделим на коэффициент при x \(на 2\):** $x = 18 : 2 \implies x = 9$\. **Ответ:** $x = 9$\. **Задание:** Решите уравнение: $\frac{x - 1}{3} = 2x - \frac{1}{7}$\. **Подробное решение:** 1\) **Избавимся от знаменателей:** НОК чисел $3$ и $7$ равен $21$\. Умножим обе части уравнения на $21$: $21 \cdot \frac{x - 1}{3} = 21 \cdot 2x - 21 \cdot \frac{1}{7}$ $7(x - 1) = 42x - 3$\. 2\) **Раскроем скобки:** $7x - 7 = 42x - 3$\. 3\) **Перенесём слагаемые с переменной влево, а числа вправо:** $7x - 42x = -3 + 7$ $-35x = 4$\. 4\) **Разделим на коэффициент \-35:** $x = -\frac{4}{35}$\. **Ответ:** $x = -\frac{4}{35}$\. ## Тренажёры по линейным уравнениям 7 класс на Экзамео Тренажёры по теме **линейные уравнения для 7 класса на платформе Экзамео** помогут подготовиться к самостоятельным и контрольным работам и разобраться в теме благодаря подробным решениям и объяснениям темы\. Систематические занятия помогут до автоматизма отработать раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, грамотный перенос чисел и изоляцию переменной $x$, что позволит сдать самостоятельные и контрольные работы по алгебре на «отлично»\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/lineinye_uravneniya_s_odnim_neizvestnym).