> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Медианы, биссектрисы, высоты треугольника На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме **«Медианы, биссектрисы и высоты треугольника» по геометрии для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам четко разграничить понятия трёх главных отрезков треугольника, изучить их свойства, научиться строить высоты в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках, а также уверенно решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ\. Медианы, биссектрисы и высоты — это фундаментальные отрезки, определяющие форму и внутренние свойства любого треугольника\. На их пересечении основаны важнейшие теоремы планиметрии, понятие центра тяжести, вписанной и описанной окружностей\. ## Теоретический справочник: три главных отрезка треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika). Каждый треугольник имеет ровно три медианы, три биссектрисы и три высоты\. Они соединяют вершины треугольника с его противоположными сторонами или их продолжениями\. \-\-\- \-\-\- ### Медиана треугольника #### Определение медианы треугольника 🎯 **Медианой треугольника** называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны\. • Отрезок $AM$ делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC$\. • **Свойство пересечения:** Все три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке \(называемой **центроидом** или центром тяжести треугольника\) и всегда лежат строго внутри треугольника\. \[ Место для иллюстрации: Треугольник с проведенными тремя медианами, пересекающимися в одной точке \] ### Биссектриса треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika). #### Определение биссектрисы треугольника 🎯 **Биссектрисой треугольника** называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне\. • Отрезок $AA_1$ делит угол при вершине $A$ пополам: $\angle BAA_1 = \angle A_1AC$\. • **Свойство пересечения:** Все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке \(называемой **инцентром** — центром вписанной окружности\) и всегда лежат строго внутри треугольника\. \[ Место для иллюстрации: Треугольник с проведенными тремя биссектрисы, пересекающимися в одной точке \] ### 3\. Высота треугольника #### Определение высоты треугольника 🎯 **Высотой треугольника** называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону\. • Отрезок $AH$ перпендикулярен стороне $BC$: $AH \perp BC$\. Точка $H$ называется **основанием высоты**\. • **Свойство пересечения:** Прямые, содержащие высоты любого треугольника, пересекаются в одной точке \(называемой **ортоцентром**\)\. **Расположение ортоцентра в зависимости от типа треугольника:** ##### Остроугольный 🔺 Все 3 высоты и их точка пересечения лежат **внутри** треугольника\. ##### Прямоугольный 📐 Две высоты **совпадают с катетами**, а точка их пересечения находится **в вершине прямого угла**\. ##### Тупоугольный 🔻 Две высоты опускаются на **продолжения сторон за пределы треугольника**, а точка пересечения прямых лежит **снаружи**\. \[ Место для иллюстрации: Выход высот тупоугольного треугольника на продолжения сторон за пределы треугольника \] #### Главная ловушка: выходы высот за пределы треугольника\! ⚠️ Медианы и биссектрисы **всегда** расположены внутри любого треугольника\. А вот **высоты** тупоугольного треугольника, проведённые из острых углов, падают не на сами стороны, а на их **продолжения** вне треугольника\! При черчении не пытайтесь «запихнуть» высоту тупоугольного треугольника внутрь\. ### 4\. Особенности в равнобедренном и равностороннем треугольниках Форма треугольника накладывает особые свойства на эти линии: • **В равнобедренном треугольнике:** медиана, биссектриса и высота, проведённые **к основанию**, полностью совпадают\. • **В равностороннем треугольнике:** все три медианы, все три биссектрисы и все три высоты совпадают между собой, а центроид, инцентр и ортоцентр объединяются в одну единую точку\! ### Пошаговый алгоритм решения задач на медианы, биссектрисы и высоты > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika). При решении задач с медианами, биссектрисами и высотами придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Определите тип проведённого отрезка:** \- Если это **медиана** — отметьте равные отрезки на противоположной стороне \($BM = MC$\)\. \- Если это **биссектриса** — отметьте дугами равные углы при вершине \($\angle 1 = \angle 2$\)\. \- Если это **высота** — поставьте знак прямого угла \($90^\circ$\)\. **Проверьте, является ли треугольник равнобедренным:** если проведен отрезок к основанию равнобедренного треугольника, используйте совпадение всех трех функций \(он одновременно делит угол, сторону пополам и образует $90^\circ$\)\. **Найдите получившиеся прямоугольные или равные треугольники:** задействуйте теоремы о сумме углов или признаки равенства треугольников\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе\. **Задание:** В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$\. Найдите длину стороны $AC$, если отрезок $AM = 8\text{ см}$\. **Подробное решение:** 1\) По определению медианы треугольника, отрезок $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой противоположной стороны $AC$\. 2\) Следовательно, точка $M$ делит отрезок $AC$ на два равных отрезка: $AM = MC = 8\text{ см}$\. 3\) Длина всей стороны $AC$ равна сумме этих отрезков: $AC = AM + MC = 8 + 8 = 16\text{ см}$\. **Ответ:** $16\text{ см}$\. **Задание:** В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $\angle B = 40^\circ$\. Проведены биссектриса $AD$ и высота $BH$\. Найдите углы треугольника $ABH$\. \[ Место для иллюстрации: Чертеж равнобедренного треугольника ABC с высотой BH к основанию AC \] **Подробное решение:** 1\) Так как $BH$ — высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, то $BH \perp AC$\. Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$\. 2\) По свойству равнобедренного треугольника, высота $BH$ является также биссектрисой угла $\angle B$: $\angle ABH = \dfrac{1}{2}\angle B = \dfrac{40^\circ}{2} = 20^\circ$\. 3\) Найдем угол $\angle BAH$\. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \dfrac{140^\circ}{2} = 70^\circ$\. Значит, $\angle BAH = 70^\circ$\. **Ответ:** Углы треугольника $ABH$ равны $70^\circ$, $20^\circ$, $90^\circ$\. ## Тренажёры по теме «Медианы, биссектрисы и высоты» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika). Закрепите определения и свойства медиан, биссектрис и высот на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки на построение и проверочные тесты по теме **«Медианы, биссектрисы и высоты треугольника» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии \(учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка\)\. В базе платформы представлены сотни упражнений разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по геометрии за 7 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно получайте отличные оценки за самостоятельно\-контрольные работы\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika).