> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Неравенство сторон треугольника На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Неравенство треугольника» по геометрии для 7 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с понятными определениями, строгим доказательством теоремы о неравенстве сторон треугольника, пошаговым алгоритмом проверки существования фигуры и разбором типовых задач из самостоятельных, контрольных работ и ВПР\. Тема «Неравенство треугольника» — один из фундаментальных законов планиметрии 7 класса\. Она связывает между собой длины всех трёх сторон фигуры и дает чёткий ответ на вопрос, можно ли построить треугольник из отрезков заданной длины\. ## Теоретический справочник: теорема о неравенстве треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika). Ниже подробно разобраны формулировка теоремы, доказательство через свойства внешнего и равнобедренного треугольников, а также следствия из нее\. ### Теорема о неравенстве сторон треугольника #### Теорема о неравенстве треугольника: Каждая сторона треугольника строго меньше суммы двух других его сторон\. $\begin{cases} a < b + c \\ b < a + c \\ c < a + b \end{cases}$  **Доказательство:** Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$\. Докажем, что сторона $AB < AC + BC$\. 1\) На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный стороне $BC$\. Получим треугольник $BCD$\. 2\) Треугольник $BCD$ — равнобедренный по построению \($CD = BC$\), следовательно, углы при его основании равны: $\angle BDC = \angle DBC$\. 3\) Угол $\angle ABD$ треугольника $ABD$ включает в себя угол $\angle DBC$, поэтому $\angle ABD > \angle DBC = \angle BDC$\. 4\) В треугольнике $ABD$ против большего угла лежит большая сторона\. Так как $\angle ABD > \angle BDC$, то сторона $AB < AD$\. 5\) Но длина отрезка $AD = AC + CD = AC + BC$\. Подставляя это равенство в неравенство, получаем: $AB < AC + BC$\. Теорема доказана\. ### Следствие: двойное неравенство для стороны треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika). Из теоремы о неравенстве треугольника вытекает важное следствие о разности сторон: #### Двойное неравенство треугольника: Каждая сторона треугольника строго больше модуля разности двух других сторон и строго меньше их суммы\. $|a - b| < c < a + b$ #### Лайфхак для контрольных работ\! 💡 Чтобы проверить, существует ли треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, **не нужно проверять все 3 неравенства**\! Достаточно проверить только **одно условие**: самая большая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон\. Например: для отрезков $3\text{ см}$, $4\text{ см}$ и $8\text{ см}$ наиболшая сторона равна $8\text{ см}$\. Проверяем: $8 < 3 + 4 \implies 8 < 7$ \(неверно\)\. Треугольник построить невозможно\! ### Применение неравенства треугольника в жизни и IT Геометрическое правило «прямой путь всегда короче обходного» имеет фундаментальное значение в реальной жизни и современных технологиях\. ##### Навигаторы и Логистика 🗺️ В GPS\-навигаторах и картах поиск кратчайшего расстояния между двумя точками опирается на то, что отрезок по прямой всегда короче ломаной через третью точку \($AC < AB + BC$\)\. ##### Метрические пространства в IT 💻 В алгоритмах машинного обучения и нейросетях неравенство треугольника является обязательным свойством функции расстояния \(метрики\), что позволяет эффективно кластеризовать и анализировать данные\. ### Пошаговый алгоритм проверки существования треугольника При решении задач на проверку существования треугольника за 7 класс придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika). **Выделите наибольшую сторону:** среди трех заданных отрезков $a$, $b$ и $c$ найдите отрезок с максимальной длиной\. **Сложите длины двух меньших сторон:** вычислите сумму оставшихся двух чисел\. **Сравните наибольшую сторону с суммой:** \- Если наибольшая сторона **строго меньше** суммы двух других, треугольник **существует**\. \- Если наибольшая сторона **больше или равна** сумме двух других, треугольник **не существует**\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе\. **Задание:** Существует ли треугольник со сторонами $5\text{ см}$, $8\text{ см}$ и $14\text{ см}$? **Подробное решение:** 1\) Наибольшая из трех сторон равна $14\text{ см}$\. 2\) Находим сумму двух меньших сторон: $5 + 8 = 13\text{ (см)}$ 3\) Проверяем неравенство треугольника для наибольшей стороны: $14 < 13$ — неравенство **неверно**\. **Ответ:** треугольник не существует\. **Задание:** Две стороны равнобедренного треугольника равны $4\text{ см}$ и $9\text{ см}$\. Найдите третью сторону этого треугольника\. **Подробное решение:** Так как треугольник равнобедренный, возможны два случая для длины третьей стороны $x$: 1\) **Случай 1:** третьей стороной является основание $x = 4\text{ см}$ \(боковые стороны по $9\text{ см}$\)\. Проверяем неравенство для наибольшей стороны \($9\text{ см}$\): $9 < 9 + 4 \implies 9 < 13$ — **верно**\. Такой треугольник существует со сторонами $9\text{ см}$, $9\text{ см}$ и $4\text{ см}$\. 2\) **Случай 2:** третьей стороной является основание $x = 9\text{ см}$ \(боковые стороны по $4\text{ см}$\)\. Проверяем неравенство для наибольшей стороны \($9\text{ см}$\): $9 < 4 + 4 \implies 9 < 8$ — **неверно**\. Треугольник со сторонами $4\text{ см}$, $4\text{ см}$ и $9\text{ см}$ не существует\. **Ответ:** третья сторона равна $9\text{ см}$\. ## Тренажёры по неравенству треугольника на Экзамео Закрепите теорему о неравенстве треугольника на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, самостоятельные и проверочные карточки по теме **«Неравенство треугольника» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии \(учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка\)\. В базе платформы представлены задачи различного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми геометрийными решениями\. Переходите к тренажёрам по геометрии на **Экзамео**, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно получайте отличные оценки на контрольных работах\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/neravenstvo_treugolnika).