> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/perpendikulyarnye_pryamye](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/perpendikulyarnye_pryamye). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Перпендикулярные прямые \- разбор темы геометрии 7 класса На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме **«Перпендикулярные прямые» по геометрии для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить базовое определение перпендикулярности, изучить теорему о единственности перпендикуляра, освоить алгоритмы построения с помощью чертёжного угольника и циркуля, а также научиться решать задачи из самостоятельно\-контрольных работ\. Перпендикулярные прямые — одно из ключевых понятий школьной планиметрии\. На свойстве перпендикулярности строятся высоты треугольников, прямоугольные системы координат, прямоугольники и квадраты, а также понятие расстояния от точки до прямой\. ## Что такое перпендикулярные прямые? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/perpendikulyarnye_pryamye](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/perpendikulyarnye_pryamye). При пересечении двух прямых образуются четыре угла\. Если хотя бы один из них оказывается прямым \($90^\circ$\), то и остальные три угла автоматически становятся прямыми\. ### Определение и обозначение перпендикулярных прямых Две пересекающиеся прямые называются **перпендикулярными**, если они пересекаются под прямым углом \($90^\circ$\)\. • **Специальный символ:** перпендикулярность обозначается знаком $\perp$\. Запись $a \perp b$ читается: *«Прямая *$a$* перпендикулярна прямой *$b$*»*\. • **Перпендикулярность отрезков и лучей:** Два отрезка \(или луча\) называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых\.  #### Теорема о единственности перпендикуляра Существование и единственность перпендикуляра выражается фундаментальной теоремой геометрии 7 класса: #### Теорема о перпендикуляре: Через каждую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и **притом только одну**\. При этом точка может как лежать на данной прямой, так и находиться вне её\. #### Отрезок\-перпендикуляр и его основание Пусть $A$ — точка, не лежащая на прямой $a$, а $AH$ — отрезок прямой, перпендикулярной прямой $a$, где точка $H$ лежит на прямой $a$\. • Отрезок $AH$ называется **перпендикуляром**, проведённым из точки $A$ к прямой $a$\. • Точка $H$ называется **основанием перпендикуляра**\. • Длина отрезка $AH$ называется **расстоянием от точки **$A$** до прямой **$a$\. \[ Место для иллюстрации: Перпендикуляр AH из точки A к прямой a и основание перпендикуляра H \] #### Важное свойство перпендикуляра и наклонной\! 💡 Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, **всегда короче любой наклонной**, проведённой из той же точки к этой прямой\. Длина перпендикуляра — это кратчайшее расстояние от точки до прямой\! ### Способы построения перпендикулярных прямых > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/perpendikulyarnye_pryamye](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/perpendikulyarnye_pryamye). В школьном курсе 7 класса используют два основных инструмента для построения перпендикулярных прямых\. ##### 1\. С помощью чертёжного угольника 📐 1\. Прикладываем один из катетов чертёжного угольника к данной прямой\. 2\. Сдвигаем угольник вдоль прямой до тех пор, пока второй катет не пройдет через заданную точку\. 3\. Проводим прямую вдоль второго катета\. ##### 2\. С помощью циркуля и линейки 📏 1\. Из заданной точки раствором циркуля засекаем две точки на прямой\. 2\. Из полученных точек одинаковым радиусом проводим две пересекающиеся дуги с другой стороны от прямой\. 3\. Соединяем исходную точку с точкой пересечения дуг линейкой\. \[ Место для иллюстрации: Построение перпендикулярных прямых с помощью циркуля и линейки \] #### Пошаговый алгоритм решения задач на перпендикулярные прямые При решении геометрических задач в 7 классе на перпендикулярность и поиск углов придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Выполните чертёж и отметьте перпендикуляры:** обозначьте прямые углы квадратом символом $90^\circ$\. **Используйте свойства смежных и вертикальных углов:** если две прямые перпендикулярны, то все 4 угла при пересечении равны $90^\circ$\. **Примените аксиому измерения углов:** если прямой угол разбивается лучом на два угла, их сумма строго равна $90^\circ$\. #### Разбор типовых задач из контрольных по геометрии на перпендикулярные прямые за 7 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе\. **Задание:** Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$\. Внутри угла $AOC$ проведён луч $OK$\. Найдите угол $KOC$, если угол $AOK$ на $20^\circ$ меньше угла $KOC$\. \[ Место для иллюстрации: Чертеж к задаче с перпендикулярными прямыми AB и CD и лучом OK \] **Подробное решение:** 1\) Так как прямые $AB \perp CD$, угол $\angle AOC = 90^\circ$\. 2\) Луч $OK$ проходит внутри угла $\angle AOC$, следовательно, по аксиоме измерения углов: $\angle AOK + \angle KOC = \angle AOC = 90^\circ$\. 3\) Пусть $\angle KOC = x$\. Тогда угол $\angle AOK = x - 20^\circ$\. 4\) Составим и решим уравнение: $(x - 20^\circ) + x = 90^\circ \implies 2x - 20^\circ = 90^\circ \implies 2x = 110^\circ \implies x = 55^\circ$\. 5\) Следовательно, угол $\angle KOC = 55^\circ$\. **Ответ:** $\angle KOC = 55^\circ$\. **Задание:** Две прямые пересекаются в точке $O$\. Докажите, что если два из образовавшихся смежных углов равны между собой, то эти прямые перпендикулярны\. **Подробное решение:** 1\) Обозначим два смежных угла, образованных при пересечении прямых, как $\angle 1$ и $\angle 2$\. 2\) По свойству смежных углов их сумма равна $180^\circ$: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$\. 3\) По условию задачи эти углы равны между собой: $\angle 1 = \angle 2$\. 4\) Подставляя равенство в сумму, получаем: $\angle 1 + \angle 1 = 180^\circ \implies 2 \cdot \angle 1 = 180^\circ \implies \angle 1 = 90^\circ$\. 5\) Так как угол пересечения прямых равен $90^\circ$, то по определению эти прямые перпендикулярны\. Что и требовалось доказать\. **Ответ:** Доказано\. ## Тренажёры по теме «Перпендикулярные прямые» на Экзамео Закрепите определение и свойства перпендикулярных прямых на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания и тренажёры по теме **«Перпендикулярные прямые» за 7 класс** и их свойства составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии и позволят подготовиться к самостоятельным работам\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/perpendikulyarnye_pryamye](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/perpendikulyarnye_pryamye).