> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Признаки равенства треугольников и доказательства На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме **«Признаки равенства треугольников» по геометрии для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить формулировки всех трёх признаков равенства треугольников, выучить их строгие доказательства, научиться находить равные элементы на чертежах и без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ\. Признаки равенства треугольников — это фундамент всей планиметрии\. Они позволяют доказывать равенство отрезков и углов, не накладывая фигуры друг на друга физически, а сравнивая всего три ключевых элемента\. ## Три признака равенства треугольников > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov). Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением\. Однако на практике проверяют не все 6 элементов \(3 стороны и 3 угла\), а выбирают одну из трёх достаточных троек элементов\. ### Первый признак равенства треугольников \(по двум сторонам и углу между ними\) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны\. $\begin{cases} AB = A_1B_1 \\ BC = B_1C_1 \\ \angle A = \angle A_1 \end{cases} \implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$  **Доказательство:** 1\) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$\. Докажем, что эти треугольники совпадут при наложении\. 2\) Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$, луч $AC$ пошел по лучу $A_1C_1$, а луч $AB$ пошел по лучу $A_1B_1$\. Это возможно, так как $\angle A = \angle A_1$\. 3\) Так как $AC = A_1C_1$, точка $C$ совпадёт с точкой $C_1$\. Так как $AB = A_1B_1$, точка $B$ совпадёт с точкой $B_1$\. 4\) Поскольку вершины $B$ и $C$ совпали с вершнинами $B_1$ и $C_1$, совпадут и отрезки $BC$ и $B_1C_1$\. 5\) Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совпали при наложении, следовательно, они равны\. Теорема доказана\. ### Второй признак равенства треугольников \(по стороне и двум прилежащим углам\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov). #### Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны\. $\begin{cases} AB = A_1B_1 \\ \angle A = \angle A_1 \\ \angle B = \angle B_1 \end{cases} \implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$  **Доказательство:** 1\) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$\. 2\) Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы точка $A$ совпала с $A_1$, а отрезок $AC$ пошел по равным ему отрезку $A_1C_1$\. Поскольку $AC = A_1C_1$, точка $C$ совпадёт с $C_1$\. 3\) Так как $\angle A = \angle A_1$, луч $AB$ пойдет по лучу $A_1B_1$\. Так как $\angle C = \angle C_1$, луч $CB$ пойдет по лучу $C_1B_1$\. 4\) Точка $B$ является единственной точкой пересечения прямых $AB$ и $CB$\. Следовательно, точка $B$ совпадёт с точкой пересечения прямых $A_1B_1$ и $C_1B_1$, то есть с точкой $B_1$\. 5\) Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совпали при наложении, а значит, они равны\. Теорема доказана\. ### Третий признак равенства треугольников \(по трем сторонам\) #### Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны\. $\begin{cases} AB = A_1B_1 \\ BC = B_1C_1 \\ AC = A_1C_1 \end{cases} \implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$  **Доказательство:** 1\) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$\. 2\) Приложим треугольник $A_1B_1C_1$ к треугольнику $ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с $A$, вершина $C_1$ совпала с $C$, а вершина $B_1$ и вершина $B$ оказались по разные стороны от прямой $AC$\. Получим треугольник $C1$\-образный \(обозначим приложенную вершину как $B_2$\)\. 3\) Проведём отрезок $BB_2$\. Получим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABB_2$ \(так как $AB = AB_2$\) и $\triangle CBB_2$ \(так как $CB = CB_2$\)\. 4\) По свойству углов при основании равнобедренных треугольников: $\angle ABB_2 = \angle AB_2B$ и $\angle CBB_2 = \angle CB_2B$\. 5\) Складывая эти углы, получаем: $\angle B = \angle B_2$\. Следовательно, $\angle B = \angle B_1$\. 6\) Теперь у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны стороны $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и угол между ними $\angle B = \angle B_1$\. По **первому признаку** эти треугольники равны\. Теорема доказана\. #### Признаки равенства прямоугольных треугольников\! 💡 В прямоугольном треугольнике один угол всегда прямой \($90^\circ$\), поэтому для них используются упрощённые признаки: \- По двум катетам \(аналог 1 признака\)\. \- По катету и прилежащему острому углу \(аналог 2 признака\)\. \- По гипотенузе и острому углу\. \- По гипотенузе и катету\. Подробно разбираем здесь: Признаки равенства прямоугольных треугольников #### Пошаговый алгоритм решения задач на признаки равенства При доказательстве равенства треугольников придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Выделите исследуемые треугольники:** напишите фразами: *«Рассмотрим *$\triangle ABC$* и *$\triangle A_1B_1C_1$*»*\. **Найдите и выпишите три пары равных элементов:** обязательно указывайте причину равенства \(по условию, как вертикальные углы, общая сторона и т\.д\.\)\. **Сделайте вывод:** укажите номер признака \(например: *«Следовательно, *$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$* по первому признаку \(по двум сторонам и углу между ними\)»*\)\. **Запишите следствие равенства:** из равенства треугольников выпишите нужные равные стороны или углы\. #### Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс на равенство треугольников Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе\. **Задание:** Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них\. Докажите, что $AC = BD$\. \[ Место для иллюстрации: Чертеж к задаче — пересекающиеся отрезки AB и CD в середине O и треугольники AOC и BOD \] **Подробное решение:** 1\) Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$\. 2\) Найдём 3 пары равных элементов: • $AO = OB$ \(так как $O$ — середина отрезка $AB$\)\. • $CO = OD$ \(так как $O$ — середина отрезка $CD$\)\. • $\angle AOC = \angle BOD$ \(как вертикальные углы\)\. 3\) Следовательно, $\triangle AOC = \triangle BOD$ по **первому признаку равенства треугольников** \(по двум сторонам и углу между ними\)\. 4\) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AC = BD$\. Что и требовалось доказать\. **Ответ:** Доказано\. **Задание:** На биссектрисе угла $A$ взята точка $D$, а на сторонах угла — точки $B$ и $C$ такие, что $\angle ADB = \angle ADC$\. Докажите, что $BD = CD$\. **Подробное решение:** 1\) Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$\. 2\) Выпишем равные элементы: • $\angle BAD = \angle CAD$ \(так как $AD$ — биссектриса угла $A$\)\. • $\angle ADB = \angle ADC$ \(по условию задачи\)\. • $AD$ — **общая сторона** этих треугольников\. 3\) Следовательно, $\triangle ABD = \triangle ACD$ по **второму признаку равенства треугольников** \(по стороне и двум прилежащим к ней углам\)\. 4\) Из равенства треугольников вытекает равенство сторон: $BD = CD$\.Что и требовалось доказать\. **Ответ:** Доказано\. ## Тренажёры по признакам равенства треугольников на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov). Закрепите все 3 признака равенства треугольников на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки на доказательство и проверочные тесты по теме **«Признаки равенства треугольников» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/priznaki-ravenstva-treugolnikov).