> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_mnogochlenov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Произведение многочленов \- правила, алгоритмы и тренажеры На странице собраны подробные учебные материалы по алгебре **«Произведение многочленов» \(умножение многочлена на многочлен\)** для **7 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, алгоритмами и разобранными примерами, чтобы помочь семиклассникам освоить технику умножения многочленов, научиться правильно приводить подобные слагаемые и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам\. В 7 классе умение находить произведение многочленов — базовый алгоритмический навык: именно на нём основывается вывод формул сокращённого умножения, разложение многочленов на множители и решение сложных алгебраических уравнений\. ## Правило умножения многочлена на многочлен — 7 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_mnogochlenov). **Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить\.** • **Формула в общем виде:** $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$; • **Количество одночленов:** если в первом многочлене $m$ слагаемых, а во втором $n$ слагаемых, то до приведения подобных слагаемых получится ровно $m \cdot n$ одночленов \(например, при умножении двучлена на двучлен получается $2 \cdot 2 = 4$ слагаемых\); • **Внимание к знакам:** перемножая одночлены, обязательно учитывайте их знаки по правилу: *плюс на минус даёт минус, минус на минус даёт плюс*\. Такое правило раскрытия скобок при умножении многочлена на многочлен называется правилом фонтанчика, визуально оно выглядит вот так:  #### Пример схемы умножения двух двучленов: Выражение $(x + 3)(y - 2)$ раскрывается пошагово по методу фонтанчика: $x \cdot y + x \cdot (-2) + 3 \cdot y + 3 \cdot (-2) = \mathbf{xy - 2x + 3y - 6}$\. ### Наглядная схема применения правила При умножении многочленов каждое слагаемое из первых скобок последовательно распределяется по всем слагаемым из вторых скобок: ##### 1\. Шаг первому слагаемому 🟢 Берем первый член $a$ из первых скобок и умножаем его на **все** члены вторых скобок: • $a \cdot c = ac$ • $a \cdot d = ad$ Результат: $ac + ad$ ##### 2\. Шаг второму слагаемому 🔵 Берем второй член $b$ из первых скобок и умножаем его на **все** члены вторых скобок: • $b \cdot c = bc$ • $b \cdot d = bd$ Результат: $bc + bd$ #### Примеры произведения многочленов разной сложности Изучите, как на практике умножаются многочлены с отрицательными коэффициентами и различными степенями: ##### Произведение многочленов ##### Раскрытие скобок до приведения подобных ##### Итоговый многочлен $(a + 4)(a - 3)$ $a \cdot a + a \cdot (-3) + 4 \cdot a + 4 \cdot (-3) = a^2 - 3a + 4a - 12$ $\mathbf{a^2 + a - 12}$ $(2x - 5)(3x + 1)$ $2x \cdot 3x + 2x \cdot 1 - 5 \cdot 3x - 5 \cdot 1 = 6x^2 + 2x - 15x - 5$ $\mathbf{6x^2 - 13x - 5}$ $(y - 2)(y^2 + 2y + 4)$ $y \cdot y^2 + y \cdot 2y + y \cdot 4 - 2 \cdot y^2 - 2 \cdot 2y - 2 \cdot 4 = y^3 + 2y^2 + 4y - 2y^2 - 4y - 8$ $\mathbf{y^3 - 8}$ #### Пошаговый алгоритм решения произведений многочленов Чтобы безошибочно перемножить два многочлена, придерживайтесь этого универсального алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_mnogochlenov). **Умножьте первый член первого многочлена** на каждый член второго многочлена, внимательно учитывая знаки\. **Умножьте следующий член первого многочлена** на каждый член второго многочлена \(повторите эту процедуру для всех оставшихся слагаемых\)\. **Запишите полученное выражение** в виде единой алгебраической суммы одночленов\. **Найдите и приведите подобные слагаемые**, записав итоговый многочлен в стандартном виде \(по убыванию степеней переменной\)\. ##### Разбор практических примеров умножения многочлена на многочлен для 7 класса Рассмотрите подробные образцы решения заданий по теме «Произведение многочленов» из школьной программы 7 класса\. **Задание:** Упростите выражение: $(3a - 2)(a + 4) - (a + 1)(3a - 5)$\. **Подробное решение:** 1\) **Выполним умножение первой пары многочленов:** $(3a - 2)(a + 4) = 3a \cdot a + 3a \cdot 4 - 2 \cdot a - 2 \cdot 4 = 3a^2 + 12a - 2a - 8 = 3a^2 + 10a - 8$ 2\) **Выполним умножение второй пары многочленов \(оставив результат в скобках, так как перед ними стоит минус\):** $(a + 1)(3a - 5) = a \cdot 3a + a \cdot (-5) + 1 \cdot 3a + 1 \cdot (-5) = 3a^2 - 5a + 3a - 5 = 3a^2 - 2a - 5$ 3\) **Составим разность полученных многочленов и раскроем скобки:** $(3a^2 + 10a - 8) - (3a^2 - 2a - 5) = 3a^2 + 10a - 8 - 3a^2 + 2a + 5$ 4\) **Приведем подобные слагаемые:** $(3a^2 - 3a^2) + (10a + 2a) + (-8 + 5) = 12a - 3$ **Ответ:** $12a - 3$\. **Задание:** Решите уравнение: $(x + 3)(x - 2) - x(x + 4) = 1$\. **Подробное решение:** 1\) **Раскроем произведение многочленов **$(x + 3)(x - 2)$**:** $x \cdot x - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$ 2\) **Раскроем произведение одночлена на многочлен **$-x(x + 4)$**:** $-x \cdot x - x \cdot 4 = -x^2 - 4x$ 3\) **Подставим все части в уравнение:** $x^2 + x - 6 - x^2 - 4x = 1$ 4\) **Приведем подобные слагаемые в левой части:** $(x^2 - x^2) + (x - 4x) - 6 = 1$ $-3x - 6 = 1$ 5\) **Перенесем **$-6$** в правую часть со знаком плюс:** $-3x = 1 + 6$ $-3x = 7$ $x = 7 : (-3)$ $x = -\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3}$ **Ответ:** $-2\dfrac{1}{3}$\. ## Тренажёры по теме «Произведение многочленов» на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные онлайн\-тренажёры по теме **«Произведение многочленов» \(умножение многочлена на многочлен\) для 7 класса** с подробными решениями и автоматической проверкой ответов\. Задания на перемножение двучленов и трехчленов, упрощение сложных алгебраических выражений и решение уравнений составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по алгебре за 7 класс и требованиями ФГОС\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Произведение многочленов 7 класс»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по алгебре вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_mnogochlenov).