<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Умножение одночлена на многочлен: правила и тренажёры

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме **«Произведение одночлена и многочлена» по алгебре для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить базовое правило умножения одночлена на многочлен, научиться уверенно раскрывать скобки с учётом знаков и решать уравнения и упрощать выражения любой сложности\.

Умножение одночлена на многочлен — это один из ключевых технических навыков в алгебре 7 класса\. Он лежит в основе решения линейных уравнений, упрощения буквенных выражений, выполнения обратного действия \(вынесения общего множителя за скобки\) и изучения умножения многочлена на многочлен\.

## Теоретический справочник: главное правило и распределительное свойство

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena).


В основе операции умножения одночлена на многочлен лежит фундаментальный закон алгебры — **распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания**\.

### Правило умножения одночлена на многочлен

#### Правило умножения одночлена на многочлен 🎯

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно **умножить этот одночлен на каждый член многочлена** и полученные произведения сложить\.

• **Алгебраическая формула:**  
$a(b + c - d) = ab + ac - ad$

• Порядок множителей не имеет значения: умножение одночлена на многочлен или многочлена на одночлен выполняется одинаково: $(b + c)a = ba + ca$\.

Результатом умножения одночлена на многочлен всегда является **многочлен**\.

### Учёт знаков и свойств степеней при умножении

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena).


При поэтапном попарном умножении одночленов нужно соблюдать два правила:

**1\. Правило знаков при умножении:**  
• Плюс на плюс даёт плюс: $(+) \cdot (+) = +$  
• Минус на минус даёт плюс: $(-) \cdot (-) = +$  
• Плюс на минус даёт минус: $(+) \cdot (-) = -$

**2\. Перемножение степеней с одинаковыми основаниями:**  
При умножении одночленов их коэффициенты перемножаются, а показатели одинаковых буквенных оснований **складываются**: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$\.

#### Самая частая ошибка при отрицательном одночлене\! ⚠️

Будьте особо внимательны, если перед одночленом стоит минус\! Знак минус **меняет знаки всех слагаемых внутри скобок** на противоположные\.
Пример:
$-3x^2(2x - 5) = (-3x^2) \cdot (2x) + (-3x^2) \cdot (-5) = -6x^3 + 15x^2$\.
Заметьте: минус на минус дал плюс перед $15x^2$\!

#### Пошаговый алгоритм раскрытия скобок

Чтобы без ошибок найти произведение одночлена и многочлена, придерживайтесь алгоритма:

### Порядок действий:

**Определите одночлен\-множитель и каждый член многочлена:** четко выделите внешний одночлен и все слагаемые внутри скобок вместе с их знаками\.

**Последовательно перемножьте одночлен на каждое слагаемое:** умножьте коэффициент на коэффициент, а переменные — по правилу сложения показателей степеней\.

**Запишите итоговые слагаемые с правильными знаками:** объедините полученные произведения в единый многочлен\.

**Приведите подобные слагаемые \(если они есть\):** если в выражении есть несколько скобок, раскройте их и сложите слагаемые с одинаковой буквенной частью\.

### Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс на умножение одночлена на  многочлен

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе\.

**Задание:** Преобразуйте в многочлен произведение $-2a^2b \cdot (3a^3 - 4ab^2 + 5b)$\.

**Подробное решение:**

Умножим одночлен $-2a^2b$ последовательно на каждое слагаемое в скобках:

1\) Умножаем на первый член $3a^3$:
$(-2a^2b) \cdot (3a^3) = (-2 \cdot 3) \cdot (a^{2+3}) \cdot b = -6a^5b$

2\) Умножаем на второй член $-4ab^2$:
$(-2a^2b) \cdot (-4ab^2) = (-2 \cdot (-4)) \cdot (a^{2+1}) \cdot (b^{1+2}) = +8a^3b^3$

3\) Умножаем на третий член $5b$:
$(-2a^2b) \cdot (5b) = (-2 \cdot 5) \cdot a^2 \cdot (b^{1+1}) = -10a^2b^2$

4\) Записываем итоговый результат:
$-6a^5b + 8a^3b^3 - 10a^2b^2$

**Ответ:** $-6a^5b + 8a^3b^3 - 10a^2b^2$\.

**Задание:** Найдите корень уравнения $3(2x - 1) - 2(5x - 4) = 7$\.

**Подробное решение:**

1\) Раскроем первые скобки, умножив $3$ на $(2x - 1)$:
$3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 = 6x - 3$

2\) Раскроем вторые скобки, умножив $-2$ на $(5x - 4)$:
$(-2) \cdot 5x - (-2) \cdot 4 = -10x + 8$

3\) Запишем уравнение без скобок:
$6x - 3 - 10x + 8 = 7$

4\) Приведём подобные слагаемые в левой части:
$(6x - 10x) + (-3 + 8) = 7 \implies -4x + 5 = 7$

5\) Перенесём число $5$ в правую часть с противоположным знаком:
$-4x = 7 - 5 \implies -4x = 2$

6\) Находим $x$:
$x = 2 : (-4) \implies x = -0{,}5$

**Ответ:** $-0{,}5$\.

## Тренажёры по теме «Произведение одночлена и многочлена» на Экзамео

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena).


Закрепите правила раскрытия скобок и умножения одночлена на многочлен на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме **«Произведение одночлена и многочлена» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре\.

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/proizvedenie_odnochlena_i_mnogochlena).