> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/prostye_i_sostavnye_chisla_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/prostye_i_sostavnye_chisla_2). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Простые и составные числа На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Простые и составные числа» по математике и алгебре для 7 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядными определениями, таблицей простых чисел, строгим объяснением Основной теоремы арифметики, формулой вычисления количества делителей, фактами об отсутствии универсальной формулы поиска простых чисел и разбором типовых задач из контрольных работ и олимпиад\. Понятие простых и составных чисел — это фундаментальный кирпичик всей теории чисел\. Понимание этой темы необходимо для моментального нахождения НОД и НОК, сокращения дробей, разложения многочленов на множители в 7 классе и успешного решения олимпиадных задач и Задания №19 ЕГЭ по математике\. ## Теоретический справочник: простые и составные числа > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/prostye_i_sostavnye_chisla_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/prostye_i_sostavnye_chisla_2). Ниже подробно разобраны базовые определения, свойства делителей и особый статус единицы в математике\. ### Определения и классификация натуральных чисел #### Классификация натуральных чисел по количеству делителей 🎯 Каждое натуральное число \(начиная с $1$\) можно отнести к одной из трех категорий: • **Простое число** — это натуральное число, большее единицы, которое имеет **ровно два различных делителя**: единицу \($1$\) и само себя \(например: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \ldots$\)\. • **Составное число** — это натуральное число, которое имеет **более двух делителей** \(например: $4, 6, 8, 9, 10, 12, \ldots$\)\. Любое составное число можно разложить на простые множители\. • **Число 1 \(единица\):** имеет всего **один делитель** \(само себя\), поэтому оно не является ни простым, ни составным числом\! #### Самый частый подвох на проверочных работах\! ⚠️ • **Единственное чётное простое число — это **$2$**\.** Все остальные чётные числа \($4, 6, 8, 10, \ldots$\) гарантированно делятся на $2$, а значит, имеют как минимум три делителя и являются составными\. • **Не все нечётные числа — простые\!** Например, числа $9$ \(делится на $1, 3, 9$\), $15$ \(делится на $1, 3, 5, 15$\), $21$ и $25$ являются нечётными, но при этом составными\. #### Таблица простых чисел до 100 и Решето Эратосфена Первые простые числа легко находить с помощью древнегреческого алгоритма — **Решета Эратосфена**\. Суть метода: выписываем числа от $2$ до $N$, зачеркиваем все числа, кратные $2$ \(кроме самой двух\), затем кратные $3$ \(кроме трех\), кратные $5$ и так далее\. Незачеркнутые числа и будут простыми\. Всего в первой сотне насчитывается ровно **25 простых чисел**: ##### Все 25 простых чисел в пределах от 1 до 100 **2** **3** **5** **7** **11** **13** **17** **19** **23** **29** **31** **37** **41** **43** **47** **53** **59** **61** **67** **71** **73** **79** **83** **89** **97** #### Существует ли формула для вычисления простых чисел? Великие математики прошлого \(Эйлер, Ферма, Гаусс\) веками пытались найти универсальную алгебраическую формулу, которая выдавала бы только простые числа при подстановке любого $n$\. Однако такой универсальной и простой формулы **не существует**\. Простые числа распределены по числовой прямой крайне хаотично и непредсказуемо\. Хотя известны многочлены, дающие простые числа при небольших $n$ \(например, многочлен Эйлера $n^2 + n + 41$ дает простые числа при всех $n$ от $0$ до $39$\), при $n = 40$ он выдает $40^2 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 41^2 = 1681$ — составное число\. Поиск простых чисел и закономерностей их распределения до сих пор остается важнейшей незавершенной задачей мировой математики\. ### Разложение чисел на простые множители > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/prostye_i_sostavnye_chisla_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/prostye_i_sostavnye_chisla_2). Фундаментом высшей и школьной математики является **Основная теорема арифметики**: #### Основная теорема арифметики: Каждое составное натуральное число можно разложить в произведение простых множителей, и притом **единственным образом** \(с точностью до порядка следования множителей\)\. $N = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}$ Для разложения числа на простые множители удобно использовать вертикальную черту\. Делим число на наименьшее простое число \(на $2$, $3$, $5$, $7$ и т\.д\.\), пока в частном не получится $1$: **Пример разложения числа 360:** $360 \mid 2$ \(получаем 180\) $180 \mid 2$ \(получаем 90\) $90 \mid 2$ \(получаем 45\) $45 \mid 3$ \(получаем 15\) $15 \mid 3$ \(получаем 5\) $5 \mid 5$ \(получаем 1\) Значит: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ #### Формула нахождения количества делителей числа Если составное число $N$ разложено на простые множители как $N = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}$, то общее количество его всех натуральных делителей $K(N)$ находится по формуле: #### Формула числа делителей: Чтобы найти общее количество натуральных делителей числа, нужно к каждому показателю степени его простых множителей прибавить $1$ и перемножить полученные суммы: $K(N) = (k_1 + 1)(k_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (k_n + 1)$ **Пример для **$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$**:** Показатели степеней равны $k_1 = 3$, $k_2 = 2$, $k_3 = 1$\. Применяем формулу: $K(360) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$\. Число $360$ имеет ровно $24$ натуральных делителя\. #### Применение простых чисел в криптографии и IT Простые числа — это основа защиты абсолютно всех персональных данных и транзакций в современном интернете\. ##### Шифрование RSA и Защита Данных 🔐 Безопасность банковских карт, паролей и мессенджеров держится на алгоритме **RSA**\. Компьютер берет два огромных простых числа \(по сотне цифр в каждом\) и перемножает их\. Перемножить их легко, а вот разложить обратно на простые множители не сможет даже самый мощный суперкомпьютер за тысячи лет\! ##### Поиск простых чисел\-гигантов 💻 Математики и программисты по всему миру участвуют в проекте **GIMPS** по поиску рекордных простых чисел Мерсенна \($2^p - 1$\)\. На сегодняшний день самое большое известное простое число содержит более 41 миллиона десятичных цифр\! #### Пошаговый алгоритм проверки числа на простоту Чтобы проверить, является ли произвольное число $N$ простым или составным, придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Проверьте признак делимости на **$2$**, **$3$** и **$5$**:** если число оканчивается на чётную цифру или $5$, или сумма его цифр делится на $3$, то число сразу **составное**\. **Найдите приблизительный квадратный корень **$\sqrt{N}$**:** определите, между квадратами каких чисел находится $N$\. **Последовательно делите **$N$** на простые числа, меньшие **$\sqrt{N}$**:** \(на $7$, $11$, $13$, $17$ и т\.д\.\)\. **Сделайте вывод:** если $N$ не поделилось ни на одно простое число, меньшее $\sqrt{N}$, то число $N$ — **простое**\. Если поделилось хотя бы на одно — **составное**\. #### Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельно\-контрольных работ и олимпиад по математике за 7 класс\. **Задание:** Докажите, что число $149$ является простым\. **Подробное решение:** 1\) По признакам делимости $149$ не делится на $2$ \(нечётное\), не делится на $5$ \(оканчивается на $9$\), не делится на $3$ \(сумма цифр $1+4+9 = 14$ не делится на $3$\)\. 2\) Оценим корень: так как $12^2 = 144$, а $13^2 = 169$, то $\sqrt{149} \approx 12{,}2$\. 3\) Достаточно проверить делимость $149$ на простые числа, меньшие $12.2$: это $7$ и $11$\. • $149 : 7 = 21$ \(остаток $2$\) $\implies$ не делится\. • $149 : 11 = 13$ \(остаток $6$\) $\implies$ не делится\. 4\) Так как $149$ не делится ни на одно простое число, меньшее его корня, число $149$ — простое\. **Ответ:** число $149$ простое\. **Задание:** Докажите, что значение выражения $15^3 + 10^3$ является составным числом\. **Подробное решение:** 1\) Вместо вычисления громоздких кубов применим формулу суммы кубов из 7 класса: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 2\) Запишем разложение: $15^3 + 10^3 = (15 + 10)(15^2 - 15 \cdot 10 + 10^2) = 25 \cdot (225 - 150 + 100) = 25 \cdot 175$ 3\) Так как значение выражения представляется в виде произведения двух натуральных чисел, отличных от $1$ \($25$ и $175$\), оно гарантированно делится на $25$, $175$ и их множители\. 4\) Следовательно, данное число имеет больше двух делителей и является составным\. **Ответ:** доказано, число составное\. ## Тренажёры по простым и составным числам на Экзамео Закрепите теорию о делимости натуральных чисел с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, самостоятельные и проверочные карточки по теме **«Простые и составные числа» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по математике и алгебре\. В базе платформы представлены задачи разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями\. Переходите к тренажёрам по математике на **Экзамео**, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно сдавайте любые проверочные и контрольные работы\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/prostye_i_sostavnye_chisla_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/prostye_i_sostavnye_chisla_2).