Расстояние от точки до прямой и между параллельными прямыми

В этом разделе подробно рассматриваются темы «Расстояние от точки до прямой» и «Расстояние между параллельными прямыми» по геометрии за 7 класс. Эти понятия являются фундаментальной основой геометрических измерений и активно используются при изучении свойств параллелограммов, трапеций, высот треугольников и геометрических мест точек.

Здесь собрана вся необходимая теория, входящая в школьную программу: определения перпендикуляра и наклонной, теорема о длине перпендикуляра как кратчайшего расстояния, свойство параллельных прямых, а также разбор типовых задач, встречающихся в самостоятельных и контрольных работах.

Отработать тему расстояние от точки до прямой и между параллельными прямыми можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Расстояние в геометрии 7 класса

Ниже подробно разбираем ключевые определения, свойства и теоремы, касающиеся расстояний на плоскости.

Расстояние от точки до прямой

Пусть дана прямая $a$ и точка $A$ , не лежащая на этой прямой. Опустим из точки $A$ на прямую $a$ перпендикуляр $AH$ (где точка $H$ лежит на прямой $a$ ).

Определение перпендикуляра и расстояния 🎯

• Отрезок $AH$ называется перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на прямую $a$ , а точка $H$ — основанием перпендикуляра.

• Длина перпендикуляра $AH$ , опущенного из точки на прямую, называется расстоянием от точки до этой прямой.

Если взять любую другую точку $M$ на прямой $a$ , отличную от $H$ , то отрезок $AM$ называется наклонной, а отрезок $HM$ — проекцией наклонной.

Свойство перпендикуляра и наклонной:

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой:

AH < AM

(Так как в прямоугольном треугольнике $\triangle AHM$ гипотенуза $AM$ всегда больше катета $AH$ ).

Визуально перпендикуляр и наклонная выглядят следующим образом:

Расстояние между параллельными прямыми

Важнейшая теорема 7 класса указывает на то, что все точки одной из двух параллельных прямых находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой. Она является основой понимания что такое параллельные прямые

Теорема о параллельных прямых 🎯

Все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина общего перпендикуляра, проведённого из любой точки одной прямой к другой прямой.

Геометрический смысл 📐

Если прямые $a \parallel b$ , то для любых двух точек $A \in a$ и $B \in a$ их перпендикуляры $AH_1 \perp b$ и $BH_2 \perp b$ равны между собой:

AH_1 = BH_2 = d

Геометрическое место точек (ГМТ) 📍

Множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии $d$ от прямой $a$ , представляет собой две прямые, параллельные прямой $a$ и расположенные по разные стороны от неё на расстоянии $d$ .

Две параллельные прямые с перпендикулярами

Запомните для решения задач! 💡

1. Расстояние от точки до прямой — это строго длина перпендикуляра, а не любой произвольный отрезок!

2. В задачах с параллельными прямыми и углами часто образуются прямоугольные треугольники с углом $30^\circ$ , где катет напротив этого угла равен половине гипотенузы.

Разбор типовых задач из проверочных работ за 7 класс

Рассмотрите решения характерных задач из школьной программы за 7 класс.

Пример 1: Нахождение расстояния от точки до прямой через угол в 30°

Задание: Из точки $A$ к прямой $a$ проведена наклонная $AB = 14\text{ см}$ , которая образует с прямой угол $30^\circ$ . Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $a$ .

Подробное решение:

1) Расстояние от точки $A$ до прямой $a$ — это длина перпендикуляра $AH \perp a$ .

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ ( $\angle AHB = 90^\circ$ ).
В нем $AB = 14\text{ см}$ — гипотенуза, а угол $\angle ABH = 30^\circ$ .

3) По свойству прямоугольного треугольника, катет $AH$ , лежащий против угла в $30^\circ$ , равен половине гипотенузы:

AH = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{14}{2} = 7\text{ см}

Ответ: $7\text{ см}$ .

Пример 2: Расстояние между параллельными прямыми

Задание: Расстояние между двумя параллельными прямыми $a$ и $b$ равно $8\text{ см}$ . Отрезок $AB$ лежит между ними ( $A \in a, B \in b$ ) и равен $16\text{ см}$ . Найдите угол, который образует отрезок $AB$ с прямой $a$ .

Подробное решение:

1) Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $b$ .
Длина отрезка $AH$ равна расстоянию между параллельными прямыми, то есть $AH = 8\text{ см}$ .

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ ( $\angle AHB = 90^\circ$ ).
В нем гипотенуза $AB = 16\text{ см}$ , а катет $AH = 8\text{ см}$ .

3) Заметим, что катет $AH$ составляет ровно половину гипотенузы $AB$ ( $8 = \dfrac{16}{2}$ ).
Следовательно, угол, лежащий против этого катета ( $\angle ABH$ ), равен $30^\circ$ .

4) Так как $a \parallel b$ , накрест лежащие углы равны: угол между $AB$ и прямой $a$ также равен $30^\circ$ .

Ответ: $30^\circ$ .

Тренажёры по теме «Расстояние от точки до прямой» на Экзамео

Закрепить навыки нахождения расстояния от точки до прямой и между параллельными прямыми в 7 классе можно с помощью тренажёров «Экзамео». В подборке представлены задачи на построение перпендикуляров, анализ свойств наклонных и применение теорем о параллельных прямых. Упражнения составлены по ФГОС и ФОП, каждая задача сопровождается автоматической проверкой и подробным решением с графическими пояснениями.

Формат тренажёров помогает отработать тему до автоматизма и без труда справляться с проверочными работами.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы