> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Равнобедренный треугольник: определение, свойства и задачи На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме **«Равнобедренный треугольник и его свойства» по геометрии для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определение равнобедренного треугольника, выучить его фундаментальные свойства и признаки, разобраться в свойствах медианы, высоты и биссектрисы, а также научиться без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ\. Равнобедренный треугольник — одна из самых важных и часто встречающихся фигур в школьном курсе геометрии\. Его свойства симметрии регулярно применяются при решении задач на доказательство равенства отрезков, вычисление углов, в прямоугольных и равносторонних треугольниках, а также в окружностях и четырёхугольниках старших классов\. ## Теоретический справочник: что такое равнобедренный треугольник? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik). Ниже подробно разобраны базовое определение равнобедренного треугольника, наименования его элементов, ключевые свойства и признаки\. ### Определение и элементы равнобедренного треугольника #### Определение равнобедренного треугольника 🎯 **Равнобедренным треугольником** называется треугольник, у которого две стороны равны\. • Равные стороны называются **боковыми сторонами**\. • Третья сторона называется **основанием**\. • Угол, образованный боковыми сторонами, называется **углом при вершине**\. • Углы, прилегающие к третьей стороне, называются **углами при основании**\. \[ Место для иллюстрации: Равнобедренный треугольник ABC с равными боковыми сторонами AB и BC, основанием AC и отмеченными равными углами A и C \] **Частный случай — равносторонний треугольник:** Если у треугольника равны все три стороны, он называется **равносторонним** \(или правильным\)\. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника\. ### Основные свойства равнобедренного треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik). Равнобедренный треугольник обладает двумя главными свойствами, которые необходимо знать наизусть: #### Свойство 1 \(об углах при основании\): В равнобедренном треугольнике углы при основании равны\. $AB = BC \implies \angle A = \angle C$ #### Свойство 2 \(о медиане, биссектрисе и высоте\): В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой\. **Доказательство:** 1\) Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, то есть $AB = BC$\. Проведём биссектрису $BD$ угла при вершине $B$\. 2\) Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$\. У них: • $AB = BC$ \(так как $\triangle ABC$ равнобедренный\); • $BD$ — общая сторона; • $\angle ABD = \angle CBD$ \(так как $BD$ — биссектриса угла $B$\)\. 3\) Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по **первому признаку равенства треугольников** \(по двум сторонам и углу между ними\)\. 4\) Из равенства треугольников вытекают следующие следствия: • $\angle A = \angle C$ — доказано **свойство 1** \(углы при основании равны\)\. • $AD = DC$ — следовательно, отрезок $BD$ делит основание пополам, то есть является **медианой**\. • $\angle BDA = \angle BDC$\. Так как эти углы смежные и равны между собой, каждый из них равен $90^\circ$ \($\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$\)\. Значит, $BD \perp AC$, и отрезок $BD$ является **высотой** — доказано **свойство 2**\. #### Важная деталь о линиях к боковым сторонам\! ⚠️ Запомните: совпадение медианы, биссектрисы и высоты происходит **ТОЛЬКО для линии, проведённой к основанию**\! Медианы, биссектрисы и высоты, проведённые к боковым сторонам, не совпадают между собой \(но равны друг другу соответствующими парами\)\. В равностороннем же треугольнике все медианы, биссектрисы и высоты совпадают для всех трёх сторон\. ### Признаки равнобедренного треугольника Чтобы доказать, что некоторый треугольник является равнобедренным, используют один из признаков: 1\. **По равенству углов:** Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный \($\angle A = \angle C \implies AB = BC$\)\. 2\. **По совпадению высоты и медианы:** Если в треугольнике высота является медианой, то он равнобедренный\. 3\. **По совпадению высоты и биссектрисы:** Если в треугольнике высота является биссектрисой, то он равнобедренный\. 4\. **По совпадению медианы и биссектрисы:** Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то он равнобедренный\. ### Пошаговый алгоритм решения задач на равнобедренный треугольник При решении задач с равнобедренным треугольником придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik). **Определите основание и боковые стороны:** четко установите, какие стороны равны по условию и какая сторона является основанием\. **Отметьте равные элементы на чертеже:** укажите штрихами равенство боковых сторон, а дугами — равенство углов при основании\. **Используйте свойства совпадающих отрезков:** если проведёна медиана \(биссектриса или высота\) к основанию, смело используйте образование прямых углов \($90^\circ$\) и деление основания пополам\. **Составьте уравнение или равенство:** примените формулу периметра $P = 2a + b$ или свойства сумм углов\. ### Разбор типовых задач на равнобедренные треугольники из контрольных работ для 7 класса Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе\. **Задание:** Периметр равнобедренного треугольника равен $48\text{ см}$, а боковая сторона на $6\text{ см}$ больше основания\. Найдите все стороны треугольника\. **Подробное решение:** 1\) Пусть длина основания треугольника равна $x\text{ см}$\. 2\) Так как боковая сторона на $6\text{ см}$ больше основания, каждая из двух боковых сторон равна $(x + 6)\text{ см}$\. 3\) Периметр треугольника — это сумма длин всех его трёх сторон: $P = x + (x + 6) + (x + 6) = 48$\. 4\) Решим полученное линейное уравнение: $3x + 12 = 48 \implies 3x = 36 \implies x = 12$\. 5\) Таким образом: • Основание равно $12\text{ см}$\. • Боковые стороны равны $12 + 6 = 18\text{ см}$ каждая\. **Ответ:** $18\text{ см}$, $18\text{ см}$, $12\text{ см}$\. **Задание:** В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена высота $BD$\. Найдите длину основания $AC$, если $AD = 7\text{ см}$, и угол $\angle ABD$, если угол $\angle ABC = 80^\circ$\. \[ Место для иллюстрации: Чертеж равнобедренного треугольника ABC с высотой BD к основанию AC \] **Подробное решение:** 1\) По свойству равнобедренного треугольника, высота $BD$, проведённая к основанию $AC$, является также его **медианой** и **биссектрисой**\. 2\) Так как $BD$ — медиана, точка $D$ делит основание $AC$ пополам \($AD = DC = 7\text{ см}$\)\. Следовательно, длина всего основания $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 7 = 14\text{ см}$\. 3\) Так как $BD$ — биссектриса угла при вершине $\angle ABC$, она делит угол $\angle ABC$ пополам: $\angle ABD = \dfrac{1}{2}\angle ABC = \dfrac{80^\circ}{2} = 40^\circ$\. **Ответ:** $AC = 14\text{ см}$, $\angle ABD = 40^\circ$\. ## Тренажёры по теме «Равнобедренный треугольник» на Экзамео для 7 класса Закрепите свойства и признаки равнобедренного треугольника на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме **«Равнобедренный треугольник» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnobedrennyi_treugolnik).