> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Равносторонний треугольник \- теория, признаки и задачи На этой странице представлен теоретический разбор темы **«Равносторонний треугольник и его свойства» по геометрии для 7 класса**\. Эта тема встречается в очень большом количестве заданий и тем в различных классах\. Равносторонний \(правильный\) треугольник — это наиболее симметричная геометрическая фигура среди всех треугольников\. Понимание его свойств упрощает вычисление углов, высот, медиан и биссектрис и подготавливает базу для решения сложных задач планиметрии\. ## Что такое равносторонний треугольник? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik). Ниже подробно разобраны: определение равностороннего или другими словами правильного треугольника, его связь с равнобедренным треугольником, свойства и признаки \- всё, что изучается в этой теме в 7 классе по геометрии\. ### Определение равностороннего треугольника **Равносторонним \(или правильным\) треугольником** называется треугольник, у которого все три стороны равны: $AB = BC = AC = a$  #### Связь равностороннего и равнобедренного треугольников 💡 Равносторонний треугольник — это **частный случай равнобедренного треугольника**\. Любой равносторонний треугольник является равнобедренным по отношению к любой выбранной паре сторон\! Поэтому **все свойства и теоремы равнобедренного треугольника автоматически верны и для равностороннего**\. Однако не всякий равнобедренный треугольник является равносторонним\. ### Основные свойства равностороннего треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik). Благодаря полной симметрии фигуры, равносторонний треугольник обладает особыми свойствами, которые значительно упрощают решение задач по геометрии\. Постарайтесь их запомнить и применять при решении задач в 7 и старших классах\. #### Свойство 1 \(об углах\): В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны по $60^\circ$: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$ #### Свойство 2 \(о медианах, биссектрисах и высотах\): В равностороннем треугольнике **все три медианы, биссектрисы и высоты, проведённые из всех вершин, совпадают** и равны между собой\. 3 ##### **Периметр равностороннего треугольника:** Периметр вычисляется по простой формуле $P = 3a$, где $a$ — длина стороны\. 4 ##### **Замечательная точка:** Точка пересечения медиан, биссектрис и высот является единым центром треугольника \- центром вписанной и описанной окружностей ### Признаки равностороннего треугольника Чтобы доказать, что треугольник является равносторонним, достаточно установить выполнение одного из следующих условий: 1 ##### **По равенству сторон** Если все три стороны треугольника равны между собой 2 ##### **Равнобедренный треугольника с углом **$60^\circ$ Если в равнобедренном треугольнике хотя бы один угол равен $60^\circ$ 3 ##### **По равенству углов** Если все три угла треугольника равны между собой \($\angle A = \angle B = \angle C$\)\. **Доказательство:** 1\) Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ \($AB = BC$\)\. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$\. 2\) **Случай 1:** Угол при вершине $\angle B = 60^\circ$\. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle A + \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$\. Поскольку $\angle A = \angle C$, получаем $\angle A = \angle C = 120^\circ : 2 = 60^\circ$\. Все три угла равны по $60^\circ$, значит, треугольник равносторонний\. 3\) **Случай 2:** Угол при основании $\angle A = 60^\circ$\. Тогда $\angle C = 60^\circ$\. Угол при вершине $\angle B = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$\. Все три угла равны по $60^\circ$, следовательно, треугольник равносторонний\. Теорема доказана\. ### Алгоритм решения задач на равносторонний треугольник При решении задач с равносторонним треугольником придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik). **Отметьте равенство сторон и углов на чертеже:** укажите штрихами равенство трёх сторон и подпишите углы по $60^\circ$\. **Используйте свойства проведённых высот, медиан и биссектрис:** каждая такая линия делит противоположную сторону пополам, образует прямой угол \($90^\circ$\) и делит угол при вершине на два угла по $30^\circ$\. **Выполните расчёт:** используйте формулу периметра $P = 3a$ или свойства получившихся прямоугольных треугольников\. ### Разбор типовых задач на равносторонние треугольники в 7 классе Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе\. **Задание:** Периметр равностороннего треугольника равен $45\text{ см}$\. На стороне $AC$ взята точка $D$ — середина этой стороны\. Найдите длину отрезка $AD$ и сторону треугольника\. **Подробное решение:** 1\) По формуле периметра равностороннего треугольника $P = 3a$, найдем его сторону $a$: $a = P : 3 = 45 : 3 = 15\text{ см}$\. Таким образом, $AB = BC = AC = 15\text{ см}$\. 2\) Так как точка $D$ — середина стороны $AC$, отрезок $BD$ является медианой\. Длина отрезка $AD = AC : 2 = 15 : 2 = 7{,}5\text{ см}$\. **Ответ:** сторона равна $15\text{ см}$, $AD = 7{,}5\text{ см}$\. **Задание:** В равностороннем треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$\. Найдите углы треугольника $ABH$\. \[ Место для иллюстрации: Чертеж равностороннего треугольника ABC с высотой BH к стороне AC \] **Подробное решение:** 1\) По свойству равностороннего треугольника, все его углы равны по $60^\circ$\. Значит, в $\triangle ABH$ угол $\angle BAH = \angle A = 60^\circ$\. 2\) Так как $BH$ — высота, $BH \perp AC$\. Значит, угол $\angle AHB = 90^\circ$ \(треугольник $ABH$ — прямоугольный\)\. 3\) Так как в равностороннем треугольнике высота $BH$ является также биссектрисой угла $B$: $\angle ABH = \dfrac{1}{2}\angle ABC = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$\. **Ответ:** Углы треугольника $ABH$ равны $60^\circ$, $90^\circ$, $30^\circ$\. ## Тренажёры по теме «Равносторонний треугольник» на Экзамео Закрепите свойства и признаки равностороннего треугольника на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме **«Равносторонний треугольник» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/ravnostoronnii_treugolnik).