Задачи на системы уравнений: способы решения и примеры

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Задачи на системы уравнений» по алгебре для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот учебный материал в формате подробного и понятного разбора: от главного секрета распознавания таких задач по двум полноценным условиям до пошагового алгоритма составления математической модели и разбора типовых задач из контрольных работ и ВПР.

Решение текстовых задач с помощью систем двух линейных уравнений с двумя переменными — одна из важнейших тем курса алгебры 7 класса. Переход от обычных уравнений с одной переменной к системам позволяет гораздо проще и нагляднее описывать сложные жизненные ситуации, движения, покупки и работу.

Теоретический справочник: как решать задачи с помощью систем уравнений

Ниже подробно разобран главный принцип составления систем, правила выбора неизвестных и пошаговый алгоритм решения.

Главный секрет: когда задача решается через систему уравнений?

Все начинается с составления математической модели 🎯

Текстовая задача решается с помощью системы двух уравнений тогда и только тогда, когда в условии есть две неизвестные величины и даны два полноценных, независимых друг от друга условия.

• Первая неизвестная ( $x$ ): первый искомый объект (например, скорость первого велосипедиста, цена одного карандаша или количество яблок в первой корзине).

• Вторая неизвестная ( $y$ ): второй искомый объект (например, скорость второго велосипедиста, цена одной тетради или количество яблок во второй корзине).

• Первое условие текста: позволяет составить первое уравнение (например, суммарная стоимость всей покупки равна 120 рублей).

• Второе условие текста: позволяет составить второе уравнение (например, первый объект на 15 рублей дороже второго).

Каждое полноценное условие связывает $x$ и $y$ отдельным математическим равенством. Объединив их фигурной скобкой, мы получаем систему, гарантирующую единственное решение!

Наглядный разбор: поиск условий и переменных в задаче

Текст задачи: В двух корзинах вместе лежит $28 \text{ кг}$ яблок. Причём в первой корзине на $4 \text{ кг}$ яблок больше, чем во второй. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Разбираем задачу по шагам:

1) Первая неизвестная ( $x$ ): количество яблок в первой корзине (в кг).
2) Вторая неизвестная ( $y$ ): количество яблок во второй корзине (в кг).

3) Первое условие текста: «В двух корзинах вместе лежит 28 кг».
Составляем 1-е уравнение:
$x + y = 28$

4) Второе условие текста: «В первой корзине на 4 кг больше, чем во второй».
Составляем 2-е уравнение:
$x - y = 4$

5) Полученная система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 28 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Способы решения составленных систем уравнений

После того как математическая модель (система) составлена, её можно решить одним из двух базовых способов из курса алгебры 7 класса:

• Метод подстановки: из одного (более простого) уравнения выражаем одну переменную через другую (например, $x = 5 + y$ ) и подставляем полученное выражение во второе уравнение.

• Метод алгебраического сложения: умножаем или делим уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (например, $2x$ и $-2x$ ), после чего почленно складываем уравнения.

Совет от методистов Экзамео! 💡

Если в уравнении есть переменная с коэффициентом $1$ или $-1$ (например, $x + 3y = 7$ ), проще всего использовать метод подстановки. Если же перед переменными стоят крупные коэффициенты (например, $3x + 5y = 19$ и $2x - 3y = 4$ ), быстрее сработает метод сложения.

Применение систем уравнений в жизни и экономике

Системы уравнений — это не просто абстрактная школьная тема, а реальный инструмент решения практических задач в различных сферах человеческой деятельности.

Экономика и Финансы 💰

Бухгалтеры и финансовые аналитики рассчитывают себестоимость товаров, прибыльность тарифных планов и скидок с помощью систем уравнений, где учитываются фиксированные и переменные расходы.

Логистика и Сплавы 🚛

Инженеры-технологи рассчитывают пропорции смешивания сплавов и растворов заданной концентрации, а логисты формируют оптимальные маршруты и загрузку транспорта через системы линейных уравнений.

Пошаговый алгоритм решения текстовых задач

Чтобы безошибочно решать любые текстовые задачи на системы уравнений в 7 классе, придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Внимательно прочитайте условие и выделите две неизвестные: обозначьте их буквами $x$ и $y$ и обязательно запишите расшифровку (например: «Пусть $x$ руб. — цена блокнота, а $y$ руб. — цена ручки»).

Найдите первое условие и составьте первое уравнение: переведите первое предложение текста на математический язык.

Найдите второе условие и составьте второе уравнение: переведите второе независимое факт-условие в математическое равенство.

Объедините уравнения в систему, решите её и проверьте ответ: решите систему методом подстановки или сложения, найдите значения $x$ и $y$ и обязательно проверьте их на соответствие смыслу задачи (например, цена не может быть отрицательной).

Разбор типовых задач по алгебре за 7 класс

Рассмотрите примеры решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе.

Оформление заданий соответствует требованиям школьной программы и ВПР в 7 классе.

Пример 1: Задача на покупки (стоимость двух наборов товаров)

Условие задачи: За $3$ тетради и $2$ карандаша заплатили $66 \text{ рублей}$ . А за $1$ такую же тетрадь и $4$ карандаша заплатили $42 \text{ рубля}$ . Найдите цену одной тетради и одного карандаша.

Подробное решение:

1) Вводим неизвестные:
Пусть $x$ рублей стоит одна тетрадь, а $y$ рублей стоит один карандаш.

2) Составляем два уравнения:
- Условие 1: за 3 тетради ( $3x$ ) и 2 карандаша ( $2y$ ) заплатили $66$ руб.
$3x + 2y = 66$
- Условие 2: за 1 тетрадь ( $x$ ) и 4 карандаша ( $4y$ ) заплатили $42$ руб.
$x + 4y = 42$

3) Записываем и решаем систему методом подстановки:
$\begin{cases} 3x + 2y = 66 \\ x + 4y = 42 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ :
$x = 42 - 4y$

Подставим выражение для $x$ в первое уравнение:
$3(42 - 4y) + 2y = 66$
$126 - 12y + 2y = 66$
$-10y = 66 - 126$
$-10y = -60 \implies y = 6 \text{ (руб.) — цена карандаша.}$

Находим $x$ :
$x = 42 - 4 \cdot 6 = 42 - 24 = 18 \text{ (руб.) — цена тетради.}$

Ответ: тетрадь стоит $18$ рублей, карандаш стоит $6$ рублей.

Пример 2: Задача на свойства чисел и их отношение

Условие задачи: Сумма двух чисел равна $45$ , а их разность равна $13$ . Найдите эти числа.

Подробное решение:

1) Вводим неизвестные:
Пусть первое число равно $x$ , а второе число равно $y$ .

2) Составляем систему двух уравнений по двум условиям:
- Условие 1 (сумма): $x + y = 45$
- Условие 2 (разность): $x - y = 13$

$\begin{cases} x + y = 45 \\ x - y = 13 \end{cases}$

3) Решаем систему методом алгебраического сложения:
Сложим два уравнения почленно:
$(x + x) + (y - y) = 45 + 13$
$2x = 58 \implies x = 29 \text{ (первое число).}$

Подставим $x = 29$ в первое уравнение:
$29 + y = 45 \implies y = 45 - 29 = 16 \text{ (второе число).}$

Ответ: искомые числа $29$ и $16$ .

Тренажёры по теме «Задачи на системы уравнений» на Экзамео

Закрепите навык решения текстовых задач с помощью онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные карточки и проверочные задания по теме «Задачи на системы уравнений» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре (учебники Макарычева, Мордковича, Никольского).

В базе платформы представлены задачи разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и учитесь легко составлять и решать любые системы уравнений!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы