На странице собраны подробные учебные материалы по алгебре «Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными» для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, алгоритмами и разобранными примерами, чтобы помочь семиклассникам освоить все ключевые методы решения систем линейных уравнений, научиться выбирать самый быстрый способ вычисления и успешно подготовиться к самостоятельным, контрольным работам и ОГЭ.
В 7 классе изучение систем уравнений — это фундаментальный раздел алгебры: он позволяет находить значения двух неизвестных величин одновременно, объединяя условия сложных текстовых задач на движение, стоимость, сплавы и смеси в единый математический аппарат.
Что такое система двух уравнений первой степени?
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными — это два линейных уравнения вида , объединённые фигурной скобкой, решения в которых ищутся одновременно.
В общем виде система уравнений выглядит следующим образом:
где - коэффициенты(просто числа)
Важно отметить, что система уравнений не всегда будет иметь одну пару чисел — единственное решение. Давайте разберём, сколько решений может быть в системе:
Решение системы уравнений
Решить систему — это значит найти такую пару чисел , которая при подстановке в оба(или больше) уравнения одновременно обращает их в верные числовые равенства (или доказать, что таких пар нет).
Ответ записывается в виде упорядоченной пары чисел , где на первом месте обязательно стоит значение , а на втором — .
В отличие от уравнений, системы уравнений могут иметь несколько различных видов решений: единственное решение, бесконечно много решений или не иметь решений вовсе. При этом тип решения зависит от соотношения количества уравнений и неизвестных, а также от их вида, степени и много другого, в 7 классе нужно понимать, что всего может быть 3 вида решений системы уравнений с двумя и более неизвестными.
1
Единственное решение
Уравнения подходят друг другу ровно в одном случае: существует единственная пара чисел , которая одновременно превращает оба уравнения в верные равенства. Это самый распространённый вариант.
2
Бесконечно много решений
Уравнения на самом деле говорят одно и то же, просто записаны по-разному (например, одно получено из другого умножением на число). Поэтому любая пара чисел, подходящая для одного уравнения, подойдёт и для второго — таких пар бесконечно много.
3
Нет решений
Уравнения противоречат друг другу. Например, из одного следует, что , а из другого — что . Такое невозможно, значит, нет ни одной пары чисел, которая подошла бы обоим уравнениям сразу.
Способы решения систем уравнений для 7 класса
Для вычисления точных значений неизвестных без построения графиков используют аналитические методы. Ниже подробно разобран каждый способ с пошаговым решением.
Метод подстановки
Самый основной способ, которым вы будете пользоваться вплоть до финальных экзаменов в школе - запомните его обязательно и используйте при решении систем уравнений.
Принцип метода подстановки:
Выражаем одну переменную через другую из более простого уравнения и подставляем полученное выражение во второе уравнение системы. Это приводит нас к одному обычному уравнению с одной переменной.
• Идеально подходит, когда коэффициент при или хотя бы в одном уравнении равен или .
Пошаговое решение системы методом подстановки
Задание: Решите систему уравнений методом подстановки: .
Подробное решение по шагам:
1) Выразим из первого уравнения:
2) Подставим выражение во второе уравнение:
3) Раскроем скобки и найдём :
4) Вычислим значение :
Ответ: .
Метод алгебраического сложения
Принцип метода сложения:
Уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных так, чтобы они стали противоположными числами (например, и ), и складываем уравнения почленно. Это сразу уничтожает одну из переменных.
• Быстро уничтожает одну из неизвестных и избавляет от громоздких дробей.
Пошаговое решение системы методом алгебраического сложения
Задание: Решите систему уравнений методом сложения: .
Подробное решение по шагам:
1) Заметим, что коэффициенты при противоположны ( и ). Сложим уравнения почленно:
2) Подставим в первое исходное уравнение:
Ответ: .
Метод вычитания
Принцип метода вычитания:
Является разновидностью метода сложения. Применяется тогда, когда коэффициенты при одной из переменных абсолютно одинаковы (например, и ). Вычитая одно уравнение из другого почленно, мы моментально исключаем эту переменную.
• Идеально подходит, когда коэффициенты перед переменной в обоих уравнениях полностью совпадают по знаку и величине.
Пошаговое решение системы методом вычитания
Задание: Решите систему уравнений методом вычитания: .
Подробное решение по шагам:
1) Заметим, что коэффициенты при одинаковы ( и ). Вычтем из первого уравнения второе почленно:
2) Подставим во второе уравнение:
Ответ: .
Дополнительные методы решения систем
Помимо трёх основных аналитических способов, в курсе алгебры и углублённой математике применяются графический метод и метод Гаусса:
Графический метод 📈
Строим графики обеих уравнений на координатной плоскости и находим координаты точки их пересечения - это и будут решения системы уравнений.
• Удобен для наглядной проверки количества решений и для сложных систем
Последовательное исключение переменных с помощью элементарных преобразований для приведения системы к ступенчатому (треугольному) виду.
• Хорошо подходит для систем с и более неизвестными, но сложен для систем из двух уравнений.
Сравнение аналитических методов решения
Изучите разницу в шагах при решении одной и той же системы аналитическими способами:
Название метода
Первый ключевой шаг
Результат промежуточного уравнения
Метод подстановки
Из выражаем и подставляем в .
Метод сложения
Складываем уравнения почленно: .
Тем не менее, метод подстановки считается более универсальным, и, как показывает практика, о методах сложения/вычитания чаще всего забывают сразу после написания самостоятельных работ по системам уравнений в 7 классе.
Пошаговый алгоритм решения способом подстановки
Чтобы безошибочно решить систему способом подстановки, придерживайтесь следующего алгоритма:
Порядок действий:
Выразите одну переменную: выберите одно из уравнений системы и выразите одну переменную через другую (например, через ).
Подставьте выражение во второе уравнение: вставьте полученное выражение вместо этой переменной во второе уравнение системы.
Решите уравнение с одной переменной: найдите значение первой переменной.
Найдите вторую переменную и запишите ответ: подставьте найденное значение в подстановку из шага 1, найдите вторую переменную и запишите пару .
Тренажёры по системам уравнений для 7 класса на Экзамео
На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными» для 7 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на метод подстановки, метод сложения, метод вычитания, графический метод и текстовые задачи составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по алгебре за 7 класс и требованиями ФГОС!
Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Системы уравнений 7 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по алгебре вместе с нами!