> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Смежные и вертикальные углы: определения, теоремы и тренажёры На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме **«Смежные и вертикальные углы» по геометрии для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определения смежных и вертикальных углов, выучить их фундаментальные свойства, научиться доказывать ключевые теоремы и без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ\. Пары углов, возникающие при пересечении прямых и проведении дополнительных лучей, образуют основу всей школьной планиметрии\. Без понимания свойств смежных и вертикальных углов невозможно освоить признаки равенства треугольников, параллельность прямых и свойства произвольных многоугольников\. ## Смежные и вертикальные углы \- вся теория для 7 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly). Ниже подробно разобраны определения, визуальные признаки, теоремы и свойства смежных и вертикальных углов, которые разбираются в курсе геометрии для 7 класса\. ### Смежные углы **Смежными углами** называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой \(образуют прямую линию\)\. #### Теорема о смежных углах: Сумма смежных углов равна $180^\circ$\. $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$  **Доказательство:** 1\) Пусть углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ — смежные\. По определению, их неточные стороны $OA$ и $OB$ образуют прямую линию, а луч $OC$ является их общей стороной\. 2\) Луч $OC$ проходит между сторонами развёрнутого угла $\angle AOB$\. Градусная мера развёрнутого угла по определению равна $180^\circ$\. 3\) По аксиоме измерения углов \(свойству сложения углов\), градусная мера всего развёрнутого угла равна сумме его частей: $\angle AOC + \angle COB = \angle AOB = 180^\circ$\. Теорема доказана\. #### **Следствия из свойства смежных углов:** • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны\. • Угол, смежный с прямым углом \($90^\circ$\), всегда прямой\. • Угол, смежный с острым углом, всегда тупой \(и наоборот\)\. ### Вертикальные углы и теорема о их равенстве > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly). #### Определение вертикальных углов 🎯 **Вертикальными углами** называются два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого\. • При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов\. #### Теорема о вертикальных углах: Вертикальные углы равны\. $\angle 1 = \angle 4, \qquad \angle 2 = \angle 3$  **Доказательство:** 1\) Рассмотрим пересечение двух прямых, при котором образуются углы $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$\. Покажем, что вертикальные углы $\angle 1$ и $\angle 3$ равны\. 2\) Угол $\angle 1$ и угол $\angle 2$ являются смежными, поэтому по теореме о смежных углах: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \implies \angle 1 = 180^\circ - \angle 2$\. 3\) Угол $\angle 3$ и угол $\angle 2$ также являются смежными, поэтому: $\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ \implies \angle 3 = 180^\circ - \angle 2$\. 4\) Правые части полученных равенств одинаковы \($180^\circ - \angle 2$\), а значит, равны и их левые части: $\angle 1 = \angle 3$\. Теорема доказана\. #### Как различать смежные и вертикальные углы? 💡 • **Смежные углы** всегда идут парами по очереди, лежат по одну сторону от прямой и в сумме **дают **$180^\circ$ \(за исключением случая, когда оба угла прямые по $90^\circ$, они не равны\)\. • **Вертикальные углы** лежат напротив друг друга через точку пересечения прямых и **всегда строго равны между собой**\. ### Пошаговый алгоритм решения задач на смежные и вертикальные углы При решении задач на поиск неизвестных углов при пересекающихся прямых придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Выполните чертёж и пронумеруйте углы:** обозначьте образованные углы цифрами $1, 2, 3, 4$ по часовой стрелке\. **Определите тип пары углов:** \- Если углы расположены напротив — используйте равенство вертикальных углов \($\angle 1 = \angle 3$\)\. \- Если углы примыкают друг к другу — используйте сумму смежных углов \($\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$\)\. **Составьте уравнение или подставьте данные:** выразите неизвестный угол через разность $180^\circ - \alpha$ или приравняйте выражения\. **Найдите остальные углы:** определите все 4 угла при пересечении прямых \(они состоят из двух пар равных вертикальных углов\)\. ### Разбор типовых задач с контрольных на вертикальные и смежные углы за 7 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly). Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе\. **Задание:** Один из смежных углов на $40^\circ$ больше другого\. Найдите градусную меру каждого из этих углов\. **Подробное решение:** 1\) Пусть меньший из смежных углов равен $x$\. Тогда больший смежный угол равен $x + 40^\circ$\. 2\) По теореме о смежных углах их сумма равна $180^\circ$: $x + (x + 40^\circ) = 180^\circ$\. 3\) Решаем уравнение: $2x + 40^\circ = 180^\circ \implies 2x = 140^\circ \implies x = 70^\circ$\. 4\) Находим второй угол: $70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$\. **Ответ:** $70^\circ$ и $110^\circ$\. **Задание:** При пересечении двух прямых сумма двух из образовавшихся углов равна $100^\circ$\. Найдите градусные меры всех четырех углов\. **Подробное решение:** 1\) Сумма двух смежных углов всегда строго равна $180^\circ$\. Так как по условию сумма двух углов равна $100^\circ \neq 180^\circ$, перед нами **вертикальные углы**\. 2\) По теореме о вертикальных углах они равны\. Следовательно, каждый из этих углов равен: $\angle 1 = \angle 3 = 100^\circ : 2 = 50^\circ$\. 3\) Угол $\angle 2$ является смежным с углом $\angle 1$\. По теореме о смежных углах: $\angle 2 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$\. 4\) Угол $\angle 4$ равен углу $\angle 2$ как вертикальный: $\angle 4 = 130^\circ$\. **Ответ:** $50^\circ$, $130^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$\. ## Тренажёры по смежным и вертикальным углам на Экзамео Закрепите теоремы о смежных и вертикальных углах на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме **«Смежные и вертикальные углы» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/smezhnye_i_vertikalnye_ugly).