> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Степень числа \- разбор темы 7 класса и задания На этой странице представлен вводный теоретический справочник по теме **«Степень числа с натуральным показателем» по алгебре для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео подготовили этот материал, чтобы помочь семиклассникам впервые познакомиться с понятием степени, научиться правильно называть её элементы, освоить правила работы со знаками при возведении отрицательных чисел в степень и легко решать базовые примеры из контрольных и самостоятельных работ\. Понятие степени — это одно из самых главных понятий школьного курса алгебры\. Введение степени позволяет компактно записывать произведение большого количества одинаковых множителей и служит основой для изучения одночленов, многочленов, формул сокращённого умножения и функций\. ## Что такое степень числа? Тема 7 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla). Ниже подробно разобраны базовое определение степени, её составные части и правила возведения различных чисел в степень, которые проходятся в 7 классе\. ### Определение степени и её элементы #### Определение степени с натуральным показателем 🎯 **Степенью числа **$a$** с натуральным показателем **$n$** \(**$n > 1$**\)** называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $$ a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot\dots\cdot a}_{n\text{ раз}} $$ • Число $a$ называется **основанием степени** \(показывает, какое число умножается само на себя\)\. • Число $n$ называется **показателем степени** \(показывает, сколько таких множителей берется\)\. #### **Особый случай — первая степень \(**$n = 1$**\):** Считается, что степень любого числа с показателем $1$ равна самому этому числу: $$ a^1=a $$ #### Вторая и третья степени: квадрат и куб числа Для второй и третьей степеней числа в математике используются традиционные специальные названия: • **Вторая степень \(**$a^2$**\) — ****«квадрат числа»****:** $a^2 = a \cdot a$\. Название связано с геометрией: площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$\. • **Третья степень \(**$a^3$**\) — ****«куб числа»****:** $a^3 = a \cdot a \cdot a$\. Название также пришло из геометрии: объём куба с ребром $a$ равен $a^3$\. ### Знаки при возведении чисел в степень > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla). При возведении чисел в степень особое внимание следует уделять знаку основания и чётности показателя: ##### Положительное основание \($a > 0$\) ➕ При возведении положительного числа в любую натуральную степень получается **положительное число**: $$ 5^2 = 25 > 0 $$ $$ 2^5=32>0 $$ ##### Отрицательное основание \($a < 0$\) ➖ \- В **чётной степени** \($2, 4, 6 \dots$\) отрицательное число даёт **положительный результат**: $$ (-3)^2=9>0 $$ \- В **нечётной степени** \($1, 3, 5 \dots$\) отрицательное число даёт **отрицательный результат**: $$ (-3)^3=-27<0 $$ #### Самая частая ошибка 7 класса со скобками\! ⚠️ Обращайте внимание на наличие скобок\! \- $(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$ — за скобку возводится всё отрицательное число $(-4)$\. \- $-4^2 = -(4 \cdot 4) = -16$ — минус стоит перед степенью\! В квадрат возводится только четвёрка, а знак минус сохраняется\! #### Порядок действий в выражениях со степенями Операция возведения в степень относится к **действиям третьей ступени**\. В числовых выражениях она выполняется в первую очередь, до умножения, деления, сложения и вычитания \(если нет скобок\)\. Пример: чтобы вычислить $2 \cdot 3^4$, сначала возводим $3$ в четвёртую степень \($3^4 = 81$\), а затем умножаем на $2$: $$ 2\cdot3^4=2\cdot81=162 $$ #### Что изучать дальше? 🚀 Освоив базовое понятие степени, переходите к изучению фундаментальных правил преобразования степенных выражений: Свойства степени с целым показателем \(умножение, деление, возведение степени в степень и свойства отрицательных показателей\)\. #### Пошаговый алгоритм возведения числа в степень Чтобы безошибочно вычислять значения степеней в 7 классе, придерживайтесь следующего универсального алгоритма, он поможет при выполнении самостоятельных и контрольных работа: ### Порядок действий: **Определите знак результата:** посмотрите на знак основания\. Если основание отрицательное, результат будет положительным при чётном показателе и отрицательным — при нечётном\. **Преобразуйте основание \(при необходимости\):** смешанную дробь переведите в неправильную \(например, $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$\), а десятичную дробь переведите в обыкновенную или возводите столбиком\. **Перемножьте модули:** перемножьте модуль основания сам на себя столько раз, чему равен показатель степени\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ на степень числа в 7 классе Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе\. **Задание:** Вычислите: а\) $(-2)^4$; б\) $(-3)^3$; в\) $\left(-1\dfrac{1}{3}\right)^3$\. **Подробное решение:** 1\) а\) $(-2)^4$: основание отрицательное, показатель чётный \($4$\)\. Результат положительный: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$\. 2\) б\) $(-3)^3$: основание отрицательное, показатель нечётный \($3$\)\. Результат отрицательный: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$\. 3\) в\) $\left(-1\dfrac{1}{3}\right)^3$: переведем смешанную дробь в неправильную: $-1\dfrac{1}{3} = -\dfrac{4}{3}$\. Возводим числитель и знаменатель в третью степень \(показатель нечётный\): $\left(-\dfrac{4}{3}\right)^3 = -\dfrac{4^3}{3^3} = -\dfrac{64}{27} = -2\dfrac{10}{27}$ **Ответ:** а\) $16$; б\) $-27$; в\) $-2\dfrac{10}{27}$\. **Задание:** Найдите значение выражения: $3 \cdot (-2)^3 - 4 \cdot (-1)^6 + 5^2$\. **Подробное решение:** 1\) Вычисляем значения всех степеней: • $(-2)^3 = -8$ \(нечётная степень отрицательного числа\) • $(-1)^6 = 1$ \(чётная степень отрицательного числа\) • $5^2 = 25$ 2\) Подставляем значения степеней в выражение: $3 \cdot (-8) - 4 \cdot 1 + 25$ 3\) Выполняем действия в соответствии с порядком операций: $3 \cdot (-8) = -24$ $-4 \cdot 1 = -4$ $-24 - 4 + 25 = -28 + 25 = -3$ **Ответ:** $-3$\. ## Тренажёры по теме «Степень числа» на Экзамео для 7 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla). Закрепите понятие степени и доведите до автоматизма вычисления с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки со степенями и проверочные тесты по теме **«Степень числа с натуральным показателем» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/stepen_chisla).