> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/summa_i_raznost_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/summa_i_raznost_mnogochlenov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Сумма и разность многочленов \- раскрытие скобок и тренажеры На странице собраны подробные учебные материалы по алгебре **«Сумма и разность многочленов»** для **7 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, алгоритмами и разобранными примерами, чтобы помочь семиклассникам освоить составление сумм и разностей многочленов, научиться безошибочно раскрывать скобки со знаками плюс и минус, приводить подобные слагаемые и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам\. В 7 классе навыки сложения и вычитания многочленов — это ключевая часть курса алгебры: они позволяют упрощать сложные буквенные выражения, решать линейные уравнения со скобками и подготавливают к изучению умножения многочлена на многочлен\. ## Сумма и разность многочленов — 7 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/summa_i_raznost_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/summa_i_raznost_mnogochlenov). Чтобы найти **сумму** или **разность** двух или нескольких многочленов, их записывают в скобках, соединяют знаком плюс или минус, после чего раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые\. • **Сложение многочленов:** при составлении суммы многочлены заключаются в скобки со знаком «\+» между ними\. При раскрытии скобок знаки всех слагаемых **сохраняются**; • **Вычитание многочленов:** при составлении разности вычитаемый многочлен заключается в скобки со знаком «−» перед ними\. При раскрытии этих скобок знаки всех слагаемых внутри них меняются на **противоположные**; • **Итоговый результат:** в результате сложения или вычитания многочленов всегда снова получается многочлен\. #### Главные правила знаков: Сумма $(3x + 2) + (5x - 4) = 3x + 2 + 5x - 4 =$ $8x - 2$\. ### Правила суммы и разности многочленов при раскрытии скобок Практически все операции сложения и вычитания над многочленами в 7 классе сводятся к правильному раскрытию скобок: ##### 1\. Плюс перед скобками ➕ Если перед скобками стоит знак **плюс**, то скобки просто опускаются, а все знаки слагаемых внутри скобок **остаются без изменений**\. *Пример:* $a + (b - c + d) = a + b - c + d$ • $(2a^2 - 3b) + (5a^2 + b) = 2a^2 - 3b + 5a^2 + b = 7a^2 - 2b$ ##### 2\. Минус перед скобками ➖ Если перед скобками стоит знак **минус**, то скобки опускаются, а знаки **каждого** слагаемого внутри скобок меняются на противоположные\. *Пример:* $a - (b - c + d) = a - b + c - d$ • $(2a^2 - 3b) - (5a^2 + b) = 2a^2 - 3b - 5a^2 - b = -3a^2 - 4b$ ### Сравнение суммы и разности многочленов на примерах > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/summa_i_raznost_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/summa_i_raznost_mnogochlenov). Посмотрите, как меняется итоговое выражение при сложении и вычитании одних и тех же многочленов $A = 4x^2 - 3x + 5$ и $B = 2x^2 + 5x - 1$: ##### Действие ##### Раскрытие скобок ##### Итоговый многочлен **Сумма **$A + B$ $(4x^2 - 3x + 5) + (2x^2 + 5x - 1) = 4x^2 - 3x + 5 + 2x^2 + 5x - 1$ $\mathbf{6x^2 + 2x + 4}$ **Разность **$A - B$ $(4x^2 - 3x + 5) - (2x^2 + 5x - 1) = 4x^2 - 3x + 5 - 2x^2 - 5x + 1$ $\mathbf{2x^2 - 8x + 6}$ **Обратная разность **$B - A$ $(2x^2 + 5x - 1) - (4x^2 - 3x + 5) = 2x^2 + 5x - 1 - 4x^2 + 3x - 5$ $\mathbf{-2x^2 + 8x - 6}$ #### Пошаговый алгоритм решения выражений с многочленами Чтобы безошибочно найти сумму или разность многочленов, придерживайтесь этого алгоритма: ### Порядок действий: **Составьте математическое выражение:** запишите каждый многочлен в скобках, поставив между ними знак «\+» \(для суммы\) или «−» \(для разности\)\. **Раскройте скобки:** • Если перед скобками стоит «\+» — снимите скобки, сохраняя все знаки\. • Если перед скобками стоит «−» — измените знаки каждого слагаемого внутри скобок на противоположные\. **Найдите и подчеркните подобные слагаемые:** сгруппируйте одночлены с одинаковой буквенной частью\. **Приведите подобные слагаемые и запишите ответ:** сложите коэффициенты в каждой группе и запишите итоговый многочлен в стандартном виде\. ##### Разбор практических примеров с суммой/разностью многочленов для 7 класса Рассмотрите подробные образцы решения заданий по теме «Сумма и разность многочленов» из школьной программы 7 класса\. **Задание:** Даны многочлены $P = 5x^2 - 2xy + y^2$ и $Q = 3x^2 + 2xy - 4y^2$\. Найдите: а\) $P + Q$; б\) $P - Q$\. **Подробное решение:** **а\) Находим сумму **$P + Q$**:** 1\) Записываем выражение: $(5x^2 - 2xy + y^2) + (3x^2 + 2xy - 4y^2)$ 2\) Раскрываем скобки: $5x^2 - 2xy + y^2 + 3x^2 + 2xy - 4y^2$ 3\) Приводим подобные: $(5x^2 + 3x^2) + (-2xy + 2xy) + (y^2 - 4y^2)$ 4\) Результат: $8x^2 + 0 - 3y^2 = 8x^2 - 3y^2$ **б\) Находим разность **$P - Q$**:** 1\) Записываем выражение: $(5x^2 - 2xy + y^2) - (3x^2 + 2xy - 4y^2)$ 2\) Раскрываем скобки с изменением знаков: $5x^2 - 2xy + y^2 - 3x^2 - 2xy + 4y^2$ 3\) Приводим подобные: $(5x^2 - 3x^2) + (-2xy - 2xy) + (y^2 + 4y^2)$ 4\) Результат: $2x^2 - 4xy + 5y^2$ **Ответ:** а\) $8x^2 - 3y^2$; б\) $2x^2 - 4xy + 5y^2$\. **Задание:** Решите уравнение: $(7x^2 - 4x + 3) - (7x^2 - 9x - 2) = 18$\. **Подробное решение:** 1\) **Раскроем скобки \(перед второй скобкой стоит минус\):** $7x^2 - 4x + 3 - 7x^2 + 9x + 2 = 18$ 2\) **Приведем подобные слагаемые в левой части:** $(7x^2 - 7x^2) + (-4x + 9x) + (3 + 2) = 18$ $0 + 5x + 5 = 18$ $5x + 5 = 18$ 3\) **Перенесем число **$5$** в правую часть:** $5x = 18 - 5$ $5x = 13$ 4\) **Найдем **$x$**:** $x = 13 : 5$ $x = 2,6$ **Ответ:** $2,6$\. ## Тренажёры по теме «Сумма и разность многочленов» на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные онлайн\-тренажёры по теме **«Сумма и разность многочленов» для 7 класса** с подробными решениями и автоматической проверкой ответов\. Задания на составление алгебраических сумм и разностей, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и решение уравнений с многочленами составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по алгебре за 7 класс и требованиями ФГОС\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Сумма и разность многочленов 7 класс»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по алгебре вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/summa_i_raznost_mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/summa_i_raznost_mnogochlenov).