> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/svoistva_bissektrisy_ugla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/svoistva_bissektrisy_ugla). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Биссектриса угла: определение, свойство, построение и задачи На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме **«Биссектриса угла и её свойства» по геометрии для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определение биссектрисы, выучить её геометрическое свойство, научиться строить её с помощью циркуля и линейки и уверенно решать задачи из контрольных работ\. Понятие биссектрисы угла — один из фундаментальных элементов планиметрии\. Оно постоянно используется при изучении равнобедренных треугольников, вписанных окружностей, замечательных точек треугольника и геометрийных построений\. ## Что такое биссектриса угла? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/svoistva_bissektrisy_ugla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/svoistva_bissektrisy_ugla). Ниже подробно разобраны строгое определение биссектрисы угла, её ключевое свойство и различие между биссектрисой угла и биссектрисой треугольника\. ### Определение биссектрисы угла **Биссектрисой угла** называется луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла\. • Если луч $l$ \(или $OC$\) является биссектрисой угла $\angle AOB$, то выполняется равенство: $\angle AOC = \angle COB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$  ##### Замените заголовок Популярная школьная запоминалка звучит так: *«Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»*\. #### Геометрическое свойство биссектрисы угла Биссектриса угла обладает важным теорематическим свойством, связанным с расстоянием до его сторон, которое применяется даже в заданиях для 11 класса, поэтому постарайтесь его запомнить: #### Теорема о биссектрисе угла: Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла **равноудалена от его сторон**\. И наоборот: если точка лежит внутри угла и равноудалена от его сторон, то она лежит на его биссектрисе\. Напомним, что расстояние от точки до стороны \(прямой\) измеряется **длиной перпендикуляра**, опущенного из этой точки на сторону угла\. #### Не путайте биссектрису угла и биссектрису треугольника\! ⚠️ **Биссектриса угла** — это бесконечный **луч**\. **Биссектриса треугольника** — это конечный **отрезок** биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне\. #### Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки Для точного построения биссектрисы любого угла $AOB$ используется классический геометрический алгоритм: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/svoistva_bissektrisy_ugla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/svoistva_bissektrisy_ugla). **Проведите дугу с центром в вершине **$O$**:** произвольным радиусом постройте окружность \(или дугу\) с центром в вершине $O$\. Она пересечёт стороны угла в точках $P$ и $Q$\. **Постройте две пересекающиеся дуги из точек **$P$** и **$Q$**:** одинаковым радиусом \(большим половины длины $PQ$\) проведите две дуги с центрами в точках $P$ и $Q$ во внутренней области угла\. Обозначьте точку их пересечения $C$\. **Проведите луч **$OC$**:** соедините вершину $O$ с точкой $C$ помощью линейки\. Луч $OC$ — искомая биссектриса\. #### Пошаговый алгоритм решения задач на биссектрису При решении задач с биссектрисой угла придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Выполните чертёж:** нарисуйте угол, проведите биссектрису и отметьте дугами равные образовавшиеся углы\. **Составьте равенство:** используйте соотношение $\angle \text{половина} = \dfrac{1}{2} \angle \text{весь}$ или $\angle \text{весь} = 2 \cdot \angle \text{половина}$\. **Вычислите неизвестный угол:** подставьте известные числовые данные или составьте уравнение\. #### Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс на биссектрису угла Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе\. **Задание:** Луч $OK$ — биссектриса угла $AOB$, равного $74^\circ$\. Найдите градусную меру угла $AOK$\. **Подробное решение:** 1\) По определению биссектрисы угла, луч $OK$ делит угол $AOB$ на два равных угла: $\angle AOK = \angle KOB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$\. 2\) Подставим градусную меру угла $AOB = 74^\circ$: $\angle AOK = \dfrac{74^\circ}{2} = 37^\circ$\. **Ответ:** $\angle AOK = 37^\circ$\. **Задание:** Докажите, что угол между биссектрисами двух смежных углов всегда равен $90^\circ$\. **Подробное решение:** 1\) Пусть $\angle AOC$ и $\angle COB$ — смежные углы\. По свойству смежных углов: $\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$\. 2\) Проведём биссектрису $OK$ угла $AOC$ и биссектрису $OL$ угла $COB$\. 3\) По определению биссектрис: $\angle KOC = \dfrac{1}{2}\angle AOC$, а $\angle COL = \dfrac{1}{2}\angle COB$\. 4\) Угол между биссектрисами равен сумме этих половин: $\angle KOL = \angle KOC + \angle COL = \dfrac{1}{2}\angle AOC + \dfrac{1}{2}\angle COB = \dfrac{1}{2}(\angle AOC + \angle COB)$\. 5\) Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$: $\angle KOL = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$\.Что и требовалось доказать\. **Ответ:** Доказано, угол между биссектрисами смежных углов равен $90^\circ$\. ## Тренажёры по теме «Биссектриса угла» для 7 класса на Экзамео Закрепите определение и свойства биссектрисы угла на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки на построение и проверочные тесты по теме **«Биссектриса угла» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/svoistva_bissektrisy_ugla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/svoistva_bissektrisy_ugla).