Углы, образованные параллельными прямыми и секущей - подробный разбор

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей» по геометрии для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот учебный материал в формате подробного и понятного разбора: от определения секущей и классификации всех 8 образованных углов до строгих доказательств теорем о накрест лежащих, соответственных и односторонних углах, а также примеров решения задач из контрольных работ и ВПР.

Тема «Параллельные прямые и секущая» — одна из ключевых во всем школьном курсе планиметрии 7 класса. Свойства углов между параллельными и секущей применяются практически в каждой геометрической задаче с треугольниками, четырёхугольниками, трапециями и необходимы для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Теоретический справочник: все теоремы об углах при параллельных прямых и секущей

Ниже подробно разобраны виды углов, возникающих при пересечении двух прямых третьей, и основные свойства параллельных прямых с доказательствами.

Понятие секущей и углы при двух параллельных

Углы при пересечении прямых секущей 📐

Секущей называется прямая, которая пересекает две другие прямые в двух различных точках.

При пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей $c$ образуется 8 углов, которые объединяются в 3 пары со специальными названиями:

• Накрест лежащие углы — пары равных углов, лежащие по разные стороны от секущей между прямыми (внутренние: $\angle1\text{ и }\angle7$ , $\angle4\text{ и }\angle6$ ) или вне их (внешние: $\angle2\text{ и }\angle8$ , $\angle3\text{ и }\angle5$ );

Накрест лежащие углы очень легко обнаружить - они образуют букву Z. Эту букву Z можно располагать любым образом - крутить её и разворачивать. Запомните это - это поможет вам быстро их находить при решении заданий по геометрии.

• Соответственные углы — пары равных углов, лежащие по одну сторону от секущей, причем один во внутренней области, а другой во внешней ( $\angle 1 \text{ и } \angle 5$ , $\angle 2 \text{ и } \angle 6$ , $\angle 3 \text{ и } \angle 7$ , $\angle 4 \text{ и } \angle 8$ );

Обратите внимание, что соответственные углы образуют букву F - при чем её можно вращать в разные стороны и так быстро находить соответственные углы
• Односторонние углы — пары углов, которые образуют в сумме 180°, лежащие по одну сторону от секущей между прямыми (внутренние: $\angle1\text{ и }\angle6$ , $\angle 4 \text{ и } \angle 7$ ).

Односторонние углы образуют букву С - её так же можно переворачивать

Теоремы об углах, образованных параллельными прямыми и секущей

Если прямые $a$ и $b$ параллельны ( $a \parallel b$ ), то для пар углов между ними действуют следующие доказанные теоремы.

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

a \parallel b \implies \angle 3 = \angle 6, \quad \angle 4 = \angle 5

[ Место для иллюстрации: Равенство накрест лежащих углов при параллельных прямых ]

Доказательство теоремы о накрест лежащих углах

Доказательство (от противного): Пусть прямые $a \parallel b$ пересечены секущей $AB$ . Допустим, что внутренние накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$ не равны. Отложим от луча $AB$ угол $\angle BAB_1$ , равный углу $\angle 2$ , так чтобы углы $\angle BAB_1$ и $\angle 2$ были накрест лежащими. По признаку параллельности прямых $AB_1 \parallel b$ . Но тогда через точку $A$ проходят две различные прямые ( $a$ и $AB_1$ ), параллельные прямой $b$ , что противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и накрест лежащие углы равны: $\angle 1 = \angle 2$ . Теорема доказана.

Теорема о соответственных углах

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

a \parallel b \implies \angle 1 = \angle 5, \quad \angle 2 = \angle 6, \quad \angle 3 = \angle 7, \quad \angle 4 = \angle 8

Доказательство теоремы о соответственных углах

Доказательство: Пусть $a \parallel b$ . По теореме о накрест лежащих углах $\angle 1 = \angle 2$ (где $\angle 1$ и $\angle 2$ — накрест лежащие). Угол $\angle 2$ и угол $\angle 3$ — вертикальные, значит, $\angle 2 = \angle 3$ . Из равенств $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 2 = \angle 3$ следует, что соответственные углы $\angle 1 = \angle 3$ . Теорема доказана.

Теорема об односторонних углах

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна $180^\circ$ .

a \parallel b \implies \angle 3 + \angle 5 = 180^\circ, \quad \angle 4 + \angle 6 = 180^\circ

Доказательство теоремы об односторонних углах

Доказательство: Пусть $a \parallel b$ . По теореме о накрест лежащих углах $\angle 1 = \angle 2$ . Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ образуют смежную пару, поэтому по свойству смежных углов $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ . Заменяя $\angle 2$ на равный ему $\angle 1$ , получаем: $\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$ . Теорема доказана.

Важно отличать свойства от признаков! 💡

- Признак параллельности: нам даны условия на углы (например, $\angle 1 = \angle 2$ ) $\implies$ делаем вывод, что прямые параллельны ( $a \parallel b$ ).
- Свойство параллельных (теорема): нам уже дано, что прямые параллельны ( $a \parallel b$ ) $\implies$ делаем вывод о равенстве углов или их сумме в $180^\circ$ .

Применение свойств параллельных прямых в жизни и технике

Свойства углов между параллельными и секущей лежат в основе проектирования и конструирования большинства инженерных сооружений.

Архитектура и Строительство 🏗️

Железнодорожные рельсы, лестничные марши, оконные рамы и стены зданий строятся строго параллельно. Расчет углов срезки и балок перекрытий опирается на теорему о равенстве накрест лежащих и соответственных углов.

Черчение и Навигация 📐

В черчении рейсшина и параллельные линейки используют свойства односторонних углов. В мореплавании и авиации навигационные прокладки курсов рассчитывают углы сноса корабля или самолета относительно параллельных меридианов.

Пошаговый алгоритм решения задач на углы при секущей

При решении геометрических задач за 7 класс на параллельные прямые и секущую придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Убедитесь в параллельности прямых: проверьте по условию, задана ли параллельность $a \parallel b$ (или докажите ее по признакам).

Определите тип пары углов: выясните, какими являются заданный и искомый углы (накрест лежащими, соответственными или односторонними).

Примените соответствующую теорему:
- Если углы накрест лежащие или соответственные — приравняйте их.
- Если углы односторонние — составьте уравнение их суммы: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ .

Найдите остальные углы: при необходимости используйте свойства вертикальных (равны) и смежных (сумма $180^\circ$ ) углов.

Разбор типовых задач по теме «Углы при параллельных и секущей»

Рассмотрите примеры решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ за 7 класс.

Оформление заданий соответствует требованиям оформлений на школьных контрольных в 7 классе.

Пример 1: Нахождение односторонних углов по их разности

Условие задачи: Две параллельные прямые пересечены секущей. Найдите величину каждого из двух внутренних односторонних углов, если один из них на $40^\circ$ больше другого.

Подробное решение:

1) Пусть меньший внутренний односторонний угол равен $x$ . Тогда больший угол равен $(x + 40^\circ)$ .

2) По теореме об односторонних углах при параллельных прямых и секущей, их сумма равна $180^\circ$ :

x + (x + 40^\circ) = 180^\circ

3) Решаем уравнение:

2x + 40^\circ = 180^\circ \implies 2x = 140^\circ \implies x = 70^\circ

4) Находим второй угол:

70^\circ + 40^\circ = 110^\circ

Ответ: $70^\circ$ и $110^\circ$ .

Пример 2: Нахождение всех 8 углов по известному одному углу

Условие задачи: Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен $65^\circ$ . Найдите остальные семь углов.

Подробное решение:

1) Пусть дана пара параллельных прямых $a \parallel b$ и секущая $c$ , $\angle 1 = 65^\circ$ .

2) Угол, вертикальный с $\angle 1$ , равен ему: $\angle 3 = \angle 1 = 65^\circ$ .

3) Смежный угол с $\angle 1$ равен: $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ . Угол, вертикальный с ним, также равен $115^\circ$ . Таким образом, в первой вершине мы имеем 2 угла по $65^\circ$ и 2 угла по $115^\circ$ .

4) По теореме о соответственных углах ( $a \parallel b$ ), углы во второй вершине равны соответствующим углам в первой вершине:
- Три угла равны по $65^\circ$ (включая данный).
- Четыре угла равны по $115^\circ$ .

Ответ: три угла по $65^\circ$ и четыре угла по $115^\circ$ .

Тренажёры по теме «Углы между параллельными и секущей» на Экзамео

Закрепите теорию на практике с помощью онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания и проверочные карточки по теме «Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы (учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка).

В базе платформы представлены задачи различного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми геометрийными решениями. Переходите к тренажёрам по геометрии на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно получайте отличные оценки на контрольных работах!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы