> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/tselye_vyrazheniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/tselye_vyrazheniya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Целые выражения и их преобразования в многочлен На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме **«Целые выражения и их преобразования» по алгебре для 7 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определение целого выражения, научиться отличать его от дробного, выполнять тождественные преобразования любой сложности и уверенно сводить целые выражения к каноническому виду многочлена\. Тема «Преобразования целых выражений» подводит итог изучению базовой алгебры 7 класса\. Она объединяет навыки действий с одночленами, многочленами, раскрытия скобок и применения формул сокращённого умножения\. Умение быстро и без ошибок приводить целые выражения к многочлену необходимо для решения любых алгебраических уравнений, систем и неравенств в старших классах и на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ\. ## Что такое целое выражение? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/tselye_vyrazheniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/tselye_vyrazheniya). Ниже подробно разобраны строгое определение целого выражения, его отличие от дробных выражений и ключевая теорема о приведении целого выражения к многочлену\. ### Определение целого алгебраического выражения #### Определение целого выражения 🎯 **Целым выражением** называется алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий **сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем**, а также **деления на число, отличное от нуля**\. • Главный признак целого выражения: в нём **НЕТ деления на выражение, содержащее переменные**\! • **Допустимые значения переменных \(ОДЗ\):** так как в целом выражении отсутствует деление на переменные, оно **имеет смысл при любых значениях входящих в него букв**\. Числа, одночлены, многочлены, а также любые их суммы, разности и произведения являются целыми выражениями\. ##### Примеры ЦЕЛЫХ выражений ✅ \- $3x^2y - 5ab + 7$ \(многочлен\) \- $(2a + b)(a^2 - 3b)$ \(произведение\) \- $\dfrac{x^2 - 4x + 1}{5}$ \(деление **на число **$5$, а не на букву\!\) \- $\dfrac{1}{3}a^2b - 0{,}5c$ \(коэффициенты — дроби\) ##### Примеры НЕ целых \(дробных\) выражений ❌ \- $\dfrac{5}{x}$ \(деление на переменную $x$\) \- $\dfrac{a + b}{a - b}$ \(деление на выражение с переменными\) \- $2x^2 + \dfrac{3}{y - 1}$ \(знаменатель содержит $y$\) \- $x^{-2}$ \(отрицательная степень равна $\frac{1}{x^2}$\) ### Представление целого выражения в виде многочлена > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/tselye_vyrazheniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/tselye_vyrazheniya). Главное математическое свойство целых выражений сформулировано в теореме: #### Фундаментальное правило алгебры: Любое целое выражение можно тождественно преобразовать в **многочлен стандартного вида**\. Для этого используют следующий набор тождественных преобразований: • **Раскрытие скобок:** распределительное свойство умножения $a(b + c) = ab + ac$ и правило умножения многочлена на многочлен $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$\. • **Применение формул сокращённого умножения:** квадрат суммы $(a+b)^2$, квадрат разности $(a-b)^2$, разность квадратов $a^2 - b^2$, куб суммы и разности\. • **Деление на число:** замена деления на число $c$ умножением на обратное число $\frac{1}{c}$\. • **Приведение подобных слагаемых:** группировка и сложение одночленов с одинаковой буквенной частью\. #### Опасность знака «минус» перед скобками\! ⚠️ Самая распространённая ошибка при преобразовании целых выражений — раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «минус» \(особенно когда перед скобкой находится произведение или квадрат\)\. Пример: $-(x - 3)^2 = -(x^2 - 6x + 9) = -x^2 + 6x - 9$\. Сначала возведите выражение в степень внутри скобок, и только затем меняйте знаки **всех** слагаемых на противоположные\! #### Пошаговый алгоритм преобразования целого выражения в многочлен Чтобы превратить сложное целое выражение в многочлен стандартного вида, придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Выполните возведение в степень и примените формулы сокращённого умножения:** раскрывайте квадраты и кубы двучленов в первую очередь\. **Выполните умножение одночленов и многочленов:** перемножьте скобки и распределите внешние множители, сохраняя общее выражение в скобках, если перед ним стоит знак «минус»\. **Раскройте оставшиеся скобки с учётом знаков:** если перед скобкой стоит плюс — просто опустите скобки; если минус — измените знак каждого слагаемого внутри скобок\. **Приведите подобные слагаемые:** подчеркните одночлены с одинаковой буквенной частью, сложите их коэффициенты и запишите итоговый многочлен в порядке убывания степеней переменных\. ##### Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельно\-контрольных работ и ВПР по алгебре за 7 класс\. **Задание:** Преобразуйте целое выражение $(3x - 2)^2 - (3x - 1)(3x + 1) + 4x$ в многочлен стандартного вида\. **Подробное решение:** 1\) Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$\. 2\) Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ ко второму произведению: $(3x - 1)(3x + 1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$\. 3\) Подставим результаты в исходное выражение, сохранив скобки после знака «минус»: $(9x^2 - 12x + 4) - (9x^2 - 1) + 4x$\. 4\) Раскроем скобки, изменив знаки во второй скобке на противоположные: $9x^2 - 12x + 4 - 9x^2 + 1 + 4x$\. 5\) Приведём подобные слагаемые: • При $x^2$: $9x^2 - 9x^2 = 0$\. • При $x$: $-12x + 4x = -8x$\. • Свободные члены: $4 + 1 = 5$\. Получаем: $-8x + 5$\. **Ответ:** $-8x + 5$\. **Задание:** Представьте целое выражение $\dfrac{x(x + 4)}{2} - \dfrac{(x - 2)^2}{2}$ в виде многочлена\. **Подробное решение:** 1\) Поскольку у дробей одинаковый знаменатель $2$, запишем их под общей чертой: $\dfrac{x(x + 4) - (x - 2)^2}{2}$\. 2\) Раскроем скобки в числителе: $x(x + 4) = x^2 + 4x$\. $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$\. Числитель равен: $(x^2 + 4x) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x - x^2 + 4x - 4 = 8x - 4$\. 3\) Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и выполним почленное деление на $2$: $\dfrac{8x - 4}{2} = \dfrac{8x}{2} - \dfrac{4}{2} = 4x - 2$\. **Ответ:** $4x - 2$\. ## Тренажёры по теме «Целые выражения» на Экзамео Закрепите правила работы с целыми выражениями и доведите навыки тождественных преобразований до автоматизма с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме **«Целое выражение и его преобразования» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/tselye_vyrazheniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/tselye_vyrazheniya).