> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Вписанная и описанная окружности треугольника \(7 класс\) В этом разделе подробно рассматривается тема **«Вписанная и описанная окружности треугольника» по геометрии за 7 класс**\. Эта фундаментальная тема завершает школьную программу 7 класса в части треугольников и объединяет знания о свойствах биссектрис, серединных перпендикуляров, касательных и углов треугольника\. Здесь собрана вся необходимая теория по **вписанной и описанной окружности треугольника за 7 класс**: теоремы о существовании окружностей, где находится **центр этих окружностей**, особенности касания и пересечения вершин, а также ключевые понятия для частных видов фигур \(**вписанная и описанная окружности прямоугольного треугольника**, равнобедренного и равностороннего\)\. ##### Теорема о существовании окружности Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность Это означает, что для любого треугольника существует вписанная и описанная окружность ### Вписанная окружность треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika). Окружность называется **вписанной в треугольник**, если она касается всех трёх его сторон\. В этом случае треугольник называется **описанным около окружности**\.  #### Теорема о вписанной окружности 🎯 В любой треугольник можно вписать окружность\. • **Центр вписанной окружности \(инцентр\):** находится в точке пересечения **биссектрис** всех трёх внутренних углов треугольника\.  • **Радиус вписанной окружности \(**$r$**\):** равен длине перпендикуляра, опущенного из центра окружности на любую из сторон треугольника\. Так как биссектрисы любого треугольника пересекаются внутри него, **центр вписанной окружности всегда лежит строго внутри треугольника**\. ### Описанная окружность треугольника Окружность называется **описанной около треугольника**, если она проходит через все три его вершины\. В этом случае треугольник называется **вписанным в окружность**\.  #### Теорема об описанной окружности: Около любого треугольника можно описать окружность\. • **Центр описанной окружности:** находится в точке пересечения **серединных перпендикуляров**, проведённых к его сторонам\.  • **Радиус описанной окружности \(**$R$**\):** равен расстоянию от центра окружности до любой из трёх вершин треугольника\. В отличие от вписанной, расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника: • В **остроугольном** треугольнике центр лежит **внутри** фигуры; • В **тупоугольном** треугольнике центр лежит **снаружи** фигуры; • В **прямоугольном** треугольнике центр лежит **на середине гипотенузы**\. ### Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и правильный треугольники > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika). Для отдельных классов треугольников связывающие **радиус вписанной и описанной окружности треугольника** соотношения значительно упрощаются: ##### Вид треугольника ##### Положение центров ##### Радиус вписанной \($r$\) ##### Радиус описанной \($R$\) **Прямоугольный** *\(катеты *$a, b$*, гипотенуза *$c$*\)* Центр $R$ — середина гипотенузы; центр $r$ — внутри\. $$ r = \dfrac{a + b - c}{2} $$ $$ R = \dfrac{c}{2} $$ *\(медиана к гипотенузе\)* **Равнобедренный** *\(боковые *$a$*, осн\. *$b$*\)* Оба центра лежат на высоте, проведённой к основанию\. $$ r = \dfrac{S}{p} $$ $$ R = \dfrac{a^2}{2h_b} $$ **Равносторонний \(правильный\)** *\(сторона *$a$*, высота *$h$*\)* Центры совпадут в одной точке \(пересечение медиан\)\. $$ r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{h}{3} $$ $$ R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2h}{3} $$ *\(*$R = 2r$*\)* #### Запомните для решения задач\! 💡 1\. **Вписанная окружность:** всегда связывается с **биссектрисами** и касанием **сторон**\. 2\. **Описанная окружность:** всегда связывается с **серединными перпендикулярами** и прохождением через **вершины**\. 3\. В правильном треугольнике радиус описанной окружности ровно **в 2 раза больше** радиуса вписанной окружности \($R = 2r$\)\. ### Пошаговый алгоритм решения задач При решении задач на **вписанную и описанную окружности треугольника** придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Определите тип фигуры:** установите, является ли треугольник произвольным, прямоугольным, равнобедренным или равносторонним\. **Установите центр окружности:** вспомните, какими элементами задаётся центр \(биссектрисы для $r$, серединные перпендикуляры или середина гипотенузы для $R$\)\. **Примените подходящую формулу:** подставьте известные стороны или высоту в формулу радиуса и вычислите ответ\. ### Разбор типовых задач из проверочных работ за 7 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika). Рассмотрите решения характерных задач из школьной программы и ОГЭ\. **Задание:** В прямоугольном треугольнике катеты равны $6\text{ см}$ и $8\text{ см}$, а гипотенуза равна $10\text{ см}$\. Найдите радиус вписанной и радиус описанной окружностей\. **Подробное решение:** 1\) Найдем радиус описанной окружности $R$, помня, что в прямоугольном треугольнике её центр лежит на середине гипотенузы: $$ R = \dfrac{c}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\text{ см} $$ 2\) Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле для прямоугольного треугольника: $$ r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\text{ см} $$ **Ответ:** $R = 5\text{ см}$, $r = 2\text{ см}$\. **Задание:** Высота равностороннего треугольника равна $12\text{ см}$\. Найдите радиус вписанной и радиус описанной окружностей данного треугольника\. **Подробное решение:** 1\) В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадает с точкой пересечения медиан \(высот\), которая делит их в отношении $2 : 1$, считая от вершины\. 2\) Найдем радиус вписанной окружности: $$ r = \dfrac{h}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\text{ см} $$ 3\) Найдем радиус описанной окружности: $$ R = \dfrac{2h}{3} = \dfrac{2 \cdot 12}{3} = 8\text{ см} $$ **Ответ:** $r = 4\text{ см}$, $R = 8\text{ см}$\. ## Тренажёры по теме «Вписанная и описанная окружности» на Экзамео Отработать тему **вписанная и описанная окружность треугольника 7 класс** можно с помощью онлайн\-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит десятки практических заданий на нахождение центров, вычисление радиусов $r$ и $R$ для прямоугольных, равнобедренных и правильных треугольников, составленных строго по требованиям ФГОС и ФОП \(по учебникам Атанасяна, Погорелова, Мерзляка\)\. Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с чертежами к каждому заданию\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном темпе, осваивайте свойства окружностей и треугольников и получайте только отличные оценки за контрольные работы\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_treugolnika).