> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Выделение полного квадрата трехчлена — формула и примеры На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Выделение полного квадрата» по алгебре для 7 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с подробными объяснениями, универсальной формулой, сравнением классического российского метода и международного метода IB \(International Baccalaureate\), а также подробным разбором типовых примеров из контрольных работ и олимпиад\. Приём выделения полного квадрата — это один из самых сильных и универсальных инструментов в алгебре\. Он опирается на формулы сокращённого умножения \(квадрат суммы и квадрат разности\) и позволяет находить наименьшие и наибольшие значения выражений, раскладывать сложные многочлены на множители, а в старших классах — выводить формулу дискриминанта квадратного уравнения и строить графики парабол\. ## Всё о выделении полного квадрата для 7 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata). Ниже подробно разобраны суть метода, выведение универсальной формулы и два основных подхода к вычислению\. ### Суть метода выделения полного квадрата и универсальная формула Суть выделения полного квадрата заключается в том, чтобы представить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ в виде суммы или разности точного квадрата двучлена и некоторого числа: $a(x - h)^2 + k$\. #### Универсальная формула для приведённого трёхчлена \($a = 1$\): Для выражения вида $x^2 + bx + c$ полный квадрат выделяется по формуле: $$ x^2 + bx + c = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + c $$ Главный ориентир в формуле — коэффициент $b$ при первой степени $x$\. Число внутри квадратных скобок всегда равно ровно **половине** этого коэффициента \($\frac{b}{2}$\) ### Два подхода к выделению полного квадрата > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata). Существует два принципиально разных методических подхода к объяснению этой темы\. В школах России принято искусственно «прибавлять и вычитать» нужное число, а в международной программе **IB \(International Baccalaureate\)** подходят со стороны раскрытия скобок и уравнения коэффициентов\. ##### 1\. Классический метод Мы ищем удвоенное произведение $2ab$, искусственно прибавляем и тут же вычитаем необходимый квадрат числа $b^2$, после чего сворачиваем первые 3 слагаемых по ФСУ в скобку $(a \pm b)^2$\. В основном так делают в России ##### 2\. Международный метод IB \(Completing the Square\) 🌍 Записывается искомая форма $a(x - h)^2 + k$\. Скобка раскрывается, и коэффициенты при одинаковых степенях $x$ просто приравниваются к исходным через систему уравнений\. Так в основном обучают в Европе Преобразуем трёхчлен $x^2 + 6x + 13$ двумя разными путями: ##### **Путь 1: Стандартный метод \(сворачивание через **$2ab$**\)** 1\. Представляем среднее слагаемое как удвоенное произведение: $6x = 2 \cdot x \cdot 3$\. 2\. Значит, нам не хватает квадрата тройки \($3^2 = 9$\)\. 3\. Искусственно добавляем и вычитаем $9$: $x^2 + 6x + 13 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 9) - 9 + 13$ 4\. Первые три слагаемых сворачиваем по формуле $(a + b)^2$, а числа считаем: $(x + 3)^2 + 4$ ##### **Путь 2: Метод IB \(раскрытие скобок и сопоставление\)** 1\. Задаём желаемую форму $(x + p)^2 + q$\. 2\. Раскрываем её: $(x + p)^2 + q = x^2 + 2px + (p^2 + q)$\. 3\. Приравниваем коэффициенты полученного выражения к $x^2 + 6x + 13$: • Коэффициент при $x$: $2p = 6 \implies p = 3$\. • Свободный член: $p^2 + q = 13 \implies 3^2 + q = 13 \implies 9 + q = 13 \implies q = 4$\. 4\. Подставляем найденные $p=3$ и $q=4$ в искомую форму: $(x + 3)^2 + 4$ ### Зачем нужно выделять полный квадрат? Выделение полного квадрата превращает неудобный трёхчлен в квадрат суммы или разности с числовой добавкой\. Это открывает важные математические свойства: **• Нахождение наименьшего и наибольшего значения:** Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен \($(x + 3)^2 \ge 0$\), наименьшее значение выражения $(x + 3)^2 + 4$ равно $4$ \(при $x = -3$\)\. **• Разложение на множители:** Если после выделения полного квадрата между скобкой и числом стоит знак минус \(например, $(x + 2)^2 - 9$\), мы легко разлагаем выражение по формуле разности квадратов: $((x + 2) - 3)((x + 2) + 3) = (x - 1)(x + 5)$\. **• Выведение формулы дискриминанта:** Идея вывода знаменитой формулы корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ основывается именно на выделении полного квадрата из общего трехчлена $ax^2 + bx + c = 0$\. ### Пошаговый алгоритм выделения полного квадрата Чтобы безошибочно выделять полный квадрат в самостоятельных и контрольных работах за 7 класс, придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata). **Сделайте коэффициент при **$x^2$** равным **$1$**:** если перед $x^2$ стоит число $a \neq 1$, вынесите его за скобки из всего выражения или первых двух слагаемых\. **Определите второе слагаемое скобки:** разделите коэффициент при $x$ на $2$\. Полученное число $p = \frac{b}{2}$ будет составлять второе слагаемое в полной скобке $(x + p)^2$\. **Вычтите компенсационный квадрат:** вычтите квадрат найденного числа $p^2$ сразу после сворачивания скобки, чтобы сохранить равенство\. **Упростите числовой остаток:** прибавьте свободный член $c$ и приведите подобные числовые слагаемые\. ### Разбор типовых примеров из контрольных работ за 7 класс Рассмотрите решения типичных задач на выделение полного квадрата, которые встречаются на школьных контрольных работах и олимпиадах по алгебре\. **Задание:** Выделите полный квадрат из трёхчлена $2x^2 - 12x + 11$\. **Подробное решение:** 1\) Вынесем коэффициент $2$ за скобки из первых двух слагаемых: $2x^2 - 12x + 11 = 2(x^2 - 6x) + 11$ 2\) Внутри скобок выделяем полный квадрат для $x^2 - 6x$\. Делим $6$ на $2$, получаем $3$\. Квадрат равен $9$: $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ 3\) Подставляем это выражение обратно в скобки: $2((x - 3)^2 - 9) + 11$ 4\) Раскрываем внешние скобки и приводим подобные слагаемые: $2(x - 3)^2 - 18 + 11 = 2(x - 3)^2 - 7$ **Ответ:** $2(x - 3)^2 - 7$\. **Задание:** Найдите наименьшее значение выражения $x^2 + 8x + 25$ и укажите, при каком $x$ оно достигается\. **Подробное решение:** 1\) Выделим полный квадрат из трёхчлена\. Делим $8$ на $2$, получаем $4$\. Квадрат четвёрки равен $16$: $x^2 + 8x + 25 = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 25 = (x + 4)^2 + 9$ 2\) Анализируем полученное выражение: так как $(x + 4)^2 \ge 0$ при любых действительных $x$, то минимальное значение квадратной скобки равно $0$\. 3\) Значит, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 9 = 9$\. Оно достигается при условии, когда скобка обращается в ноль: $x + 4 = 0 \implies x = -4$\. **Ответ:** наименьшее значение равно $9$ при $x = -4$\. ## Тренажёры по выделению полного квадрата на Экзамео Закрепите навык выделения полного квадрата с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные карточки и проверочные задания по теме **«Выделение полного квадрата» за 7 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре\. В базе платформы представлены задачи различного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по алгебре на **Экзамео**, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно сдавайте любые контрольные работы и экзамены\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_7/topics/vydelenie_polnogo_kvadrata).