> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Числовые неравенства и их свойства \- полное руководство для 8 класса **Числовые неравенства и их свойства** \- это одна из ключевых тем алгебры 8 класса, которая является основой для решения линейных, квадратных и других видов неравенств\. Без понимания свойства числовых неравенств невозможно решать задачи на оценку выражений, доказывать неравенства и работать с системами неравенств\. На этой странице мы собрали общую информацию о видах неравенств и общих свойств числовых неравенств, более подробно каждый вид неравенств разобран на страницах, посвященных конкретному виду неравенств **Числовое неравенство** \- это запись, в которой два числа или два выражения, содержащие переменные, соединены знаком **\>**, **<**, **≥** или **≤**\. ### Что такое числовое неравенство > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva). В математике часто приходится сравнивать числа и выражения\. Результат сравнения записывается в виде **неравенства**\. ### **Определение** **Определение\.** **Числовым неравенством** называется запись отношений двух неравных чисел с помощью знаков \> или <\. Число **a** больше числа **b**, если разность **a — b** \- **положительное** число\. Число **a** меньше числа **b**, если разность **a — b** \- **отрицательное** число\. **Примеры:** $5 > 3$, так как $5 — 3 = 2 > 0$ $-4 < 1$, так как $-4 — 1 = -5 < 0$ ### Виды неравенств > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva). Неравенства можно классифицировать по разным признакам\. Рассмотрим основные виды\. **По знаку сравнения** **Строгие неравенства** \- неравенства со знаками **\>** или **<**\. **Пример:** $3 > 2$, $-5 < 0$ **Нестрогие неравенства** \- неравенства со знаками **≥** или **≤**\. **Пример:** $x ≥ 5$, $x ≤ 10$ Запись $a ≥ b$ означает, что либо $a > b$, либо $a = b$\. **По содержанию** **Числовые неравенства** \- содержат только числа\. **Пример:** $7 > 3$, $0 < 2$ **Неравенства с переменной** \- содержат переменные\. **Пример:** $2x + 3 > 7$, $x^2 — 4 ≤ 0$ **Двойные неравенства** \- содержат два знака сравнения\. **Пример:** $2 < x < 5$ ### Виды неравенств по типу выражений В 8 классе вы познакомитесь с несколькими видами неравенств, которые различаются по типу выражений, входящих в них\. #### **Вид неравенства** #### **Пример** [Линейные неравенства](/subjects/math/topics/lineinye_neravenstva?course=math_grade_8) $2x - 4 > 0$, $3x + 5 ≤ 7$ **Квадратное** $x^2 - 3x + 2 > 0$, $x^2 + 4 ≤ 0$ **Рациональное** $\dfrac{x}{x - 2} < 3$, $\dfrac{x + 1}{x} ≥ 0$ **Иррациональное** $\sqrt{x + 1} > 2$, $\sqrt{2x} ≤ 5$ **📌 Важно:** Каждый из этих видов неравенств решается по\-своему\. Подробнее о решении каждого вида можно прочитать на соответствующих страницах\. ### Свойства числовых неравенств Свойства числовых неравенств \- это правила, которые позволяют преобразовывать неравенства, сохраняя их истинность\. Все эти свойства следуют из определения сравнения чисел через разность\. #### Основные свойства #### **Свойство** #### **Формулировка** **1\. Антисимметричность** Если $a > b$, то $b < a$\. Если $a < b$, то $b > a$\. **2\. Транзитивность** Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$\. Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$\. **3\. Прибавление числа** Если $a < b$ и $c$ — любое число, то $a + c < b + c$\. **4\. Умножение на положительное число** Если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$\. **5\. Умножение на отрицательное число** Если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$ \(знак неравенства меняется на противоположный\)\. #### Почленное сложение и умножение неравенств ### **Теоремы о почленных операциях** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva). **Почленное сложение\.** Если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$\. **Вывод:** Если почленно сложить верные неравенства **одного знака**, то получится верное неравенство\. **Почленное умножение\.** Если $a < b$ и $c < d$, где $a, b, c, d$ \- **положительные числа**, то $ac < bd$\. **Вывод:** Если почленно перемножить верные неравенства **одного знака**, левые и правые части которых \- **положительные числа**, то получится верное неравенство\. **Важно:** Если среди чисел есть отрицательные, неравенство $ac < bd$ может оказаться неверным\. **Следствие\.** Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a < b$, то $a^n < b^n$, где $n$ \- натуральное число\. ### Применение свойств числовых неравенств Свойства числовых неравенств широко применяются при решении практических задач, особенно при оценке значений выражений\. ### **Задача на оценку выражений** Известно, что $2 < a < 3$ и $4 < b < 5$\. **1\. Оценим периметр прямоугольника со сторонами **$a$** и **$b$**:** $2 + 4 < a + b < 3 + 5$ \(почленное сложение\) $6 < a + b < 8$ $12 < 2(a + b) < 16$ \(умножение на 2\) **2\. Оценим площадь прямоугольника:** $2 \cdot 4 < a \cdot b < 3 \cdot 5$ \(почленное умножение, все числа положительные\) $8 < ab < 15$ **💡 Совет:** При работе с неравенствами **всегда** обращайте внимание на знак числа, на которое умножаете или делите обе части неравенства\. Если число отрицательное \- знак неравенства **меняется**\! ## Тренажёры по числовым неравенствам и их свойствам > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva). На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Числовые неравенства и их свойства»\. Мы подготовили задания разного уровня сложности \- от сравнения чисел до оценки выражений и доказательства неравенств\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/chislovye_neravenstva_i_ih_svoistva).