<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Деление многочленов столбиком с остатком и без

На данной странице разберем тему **деления многочленов уголком** — один из ключевых навыков в алгебре, который необходим для решения уравнений высших степеней, упрощения выражений и успешной сдачи ЕГЭ по математике, на ОГЭ по математике эта тема вам не понадобится, однако проходится она в 8 классе\. **Деление многочленов уголком** это продолжение тем [Корни многочлена\. Теорема Безу\. Схема Горнера](/subjects/math/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera?course=math_grade_8)\.

**Деление многочленов** \- это операция, обратная умножению\. Она позволяет представить один многочлен как произведение другого многочлена и частного с остатком\.

### Что такое деление многочленов

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov).


Деление многочленов \- это процесс, аналогичный делению чисел, но вместо чисел мы работаем с алгебраическими выражениями\.

### **Основные определения**

**Определение\.** Разделить многочлен $f(x)$ на многочлен $g(x)$ \- значит найти такие многочлены $q(x)$ и $r(x)$, что:

$f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$

где $q(x)$ \- **частное**, $r(x)$ \- **остаток**, причём степень остатка меньше степени делителя\.

**Пример:** Разделим $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ на $g(x) = x + 1$\.

Результат: $q(x) = x^2 + x - 6$, $r(x) = 0$\.

Проверка: $(x + 1)(x^2 + x - 6) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$\.

**📌 Важно запомнить:** Если остаток равен нулю, то деление выполнено **нацело**, и делитель является делителем делимого\. Это означает, что корень делителя является корнем делимого\.

### Деление многочленов уголком

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov).


Способ деления «уголком» \(или «столбиком»\) \- это классический алгоритм, который напоминает деление чисел\. Он подходит для любых многочленов и позволяет найти частное и остаток\.

#### Алгоритм деления уголком

### **Правила деления уголком**

**Шаг 1\.** Расположить делимое и делитель в порядке **убывания степеней**\.

**Шаг 2\.** Разделить **старший член** делимого на **старший член** делителя \- это первый член частного\.

**Шаг 3\.** Умножить делитель на полученный член частного и вычесть результат из делимого\.

**Шаг 4\.** Повторять шаги 2\-3 с полученным остатком, пока степень остатка не станет меньше степени делителя\.

#### Пример деления уголком

Разделим многочлен $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ на $g(x) = x - 2$\.

**Шаг 1\.** Записываем деление уголком:

x² \- 3x \- 4
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
x \- 2 \| x³ \- 5x² \+ 2x \+ 8
x³ \- 2x²
\_\_\_\_\_\_\_\_
\-3x² \+ 2x
\-3x² \+ 6x
\_\_\_\_\_\_\_\_\_
\-4x \+ 8
\-4x \+ 8
\_\_\_\_\_\_\_
0

**Шаг 2\.** Читаем результат:

Частное: $q(x) = x^2 - 3x - 4$

Остаток: $r(x) = 0$

**Ответ:** $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4)$

#### Пример деления с остатком

Разделим многочлен $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ на $g(x) = x + 1$\.

**Шаг 1\.** Записываем деление уголком:

2x² \- 5x \+ 9
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
x \+ 1 \| 2x³ \- 3x² \+ 4x \- 1
2x³ \+ 2x²
\_\_\_\_\_\_\_\_
\-5x² \+ 4x
\-5x² \- 5x
\_\_\_\_\_\_\_\_\_
9x \- 1
9x \+ 9
\_\_\_\_\_\_\_
\-10

**Шаг 2\.** Читаем результат:

Частное: $q(x) = 2x^2 - 5x + 9$

Остаток: $r(x) = -10$

**Ответ:** $2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = (x + 1)(2x^2 - 5x + 9) - 10$

*Проверим: *$(x + 1)(2x^2 - 5x + 9) - 10 = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$*\.*

### Деление по схеме Горнера

**Схема Горнера** — это более быстрый способ деления многочлена на двучлен вида $(x - c)$\. Этот метод особенно эффективен, когда нужно проверить несколько кандидатов в корни\.

### Сравнение способов деления многочленов

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov).


Оба способа деления имеют свои преимущества и недостатки\. Выбор метода зависит от конкретной задачи\.

#### **Критерий**

#### **Деление уголком**

#### **Схема Горнера**

Наглядность

Высокая — виден весь процесс

Низкая — работа с числами

Скорость

Медленнее

Быстрее

Применение

Любой делитель

Только двучлен $(x - c)$

Сложность вычислений

Выше

Ниже

Ошибки

Легко допустить

Меньше вероятность

**💡 Совет:** Для деления на двучлен $(x - c)$ **всегда используйте схему Горнера** — это быстрее и надёжнее\. Для деления на многочлен более высокой степени используйте деление уголком\.

### Применение деления многочленов

Деление многочленов широко используется в различных разделах алгебры:

**Решение уравнений**

Деление помогает понизить степень уравнения после нахождения одного корня\.

**Пример:** Уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ имеет корень $x = 1$\. Разделив на $(x - 1)$, получаем квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$\.

**Теорема Безу**

Деление позволяет проверить, является ли число корнем многочлена \(остаток равен нулю\)\.

**Пример:** При делении $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ на $(x - 2)$ остаток равен 0, значит $x = 2$ — корень\.

## Тренажёры по делению многочленов

На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Деление многочленов»\. Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры и сборников для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике\.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Это особенно важно при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике\.

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/delenie-mnogochlenov).