Деление с остатком и сравнение по модулю - разбор темы. Алгебра 8 класс

Деление с остатком и сравнения по модулю - это темы углубленного уровня изучения алгебры, которые открывают дверь в увлекательный мир олимпиадной математики и проходятся в 8 классе.

Изучение этой темы позволит решать задачи на делимость, находить остатки от деления огромных чисел и доказывать свойства чисел. Эти знания необходимы для участия в математических олимпиадах, а также пригодятся в старших классах при изучении алгебры и теории чисел. Особенно часто вы будете встречать эту тему на ЕГЭ по математике профильного уровня в последнем задании.

На этой странице вы найдёте всё, что нужно знать о делении с остатком и сравнениях по модулю: строгие определения, основные свойства, примеры решения задач и практические применения. Материал структурирован так, чтобы у вас не осталось вопросов после прочтения.

Деление с остатком - это операция, которая позволяет представить любое целое число $a$ в виде $a = bq + r$ , где $b > 0$ - делитель, $q$ - неполное частное, а $r$ - остаток, причём $0 \le r < b$ .

Сравнение по модулю - это отношение между целыми числами, которые дают одинаковые остатки при делении на натуральное число $m$ .

Деление с остатком

Начнём с самого важного - теоремы о делении с остатком, которая лежит в основе всей теории сравнений.

Теорема о делении с остатком

Теорема. Для любого целого числа $a$ и любого натурального числа $b$ существуют единственные целые числа $q$ и $r$ такие, что:

$a = bq + r$ , где $0 \le r < b$

Число $q$ называется неполным частным, а число $r$ - остатком.

Примеры:

$26 = 3 \cdot 8 + 2$ (при делении 26 на 3 получаем частное 8, остаток 2)
$100 = 18 \cdot 5 + 10$ (при делении 100 на 18 получаем частное 5, остаток 10)
$20 = 6 \cdot 3 + 2$ (при делении 20 на 6 получаем частное 3, остаток 2)

📌 Важно запомнить: Остаток всегда неотрицателен и меньше делителя. Это ключевое условие теоремы о делении с остатком.

Возможные остатки при делении

При делении на число $m$ возможны ровно $m$ различных остатков: $0, 1, 2, \dots, m-1$ .

Остатки при делении на разные числа

При делении на 2 возможны остатки: 0, 1
При делении на 3 возможны остатки: 0, 1, 2
При делении на 4 возможны остатки: 0, 1, 2, 3
При делении на 5 возможны остатки: 0, 1, 2, 3, 4

Пример: Если число $a$ при делении на 5 даёт остаток 3, то $a = 5q + 3$ . Такие числа имеют вид: 3, 8, 13, 18, 23, ...

Сравнения по модулю

Теперь перейдём к главному понятию этого урока - сравнениям по модулю. Это мощный инструмент, который позволяет работать с остатками вместо огромных чисел.

Определение сравнения по модулю

Определение. Целые числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ (где $m$ - натуральное число), если они дают одинаковые остатки при делении на $m$ .

Обозначение: $a \equiv b \pmod{m}$ .

Равносильное определение. $a \equiv b \pmod{m}$ тогда и только тогда, когда $a - b$ делится на $m$ .

Примеры:

$17 \equiv 2 \pmod{5}$ , так как $17$ и $2$ дают остаток $2$ при делении на $5$ .
$20 \equiv 4 \pmod{8}$ , так как $20$ и $4$ дают остаток $4$ при делении на $8$ .
$15 \equiv 0 \pmod{3}$ , так как $15$ делится на $3$ .
$-3 \equiv 4 \pmod{7}$ , так как $-3$ и $4$ дают остаток $4$ при делении на $7$ ( $-3 = -1 \cdot 7 + 4$ ).

📌 Важно запомнить: Сравнение $a \equiv b \pmod{m}$ означает, что $a - b = km$ для некоторого целого числа $k$ . Это свойство часто используется для доказательства сравнений.

Свойства сравнений по модулю

Сравнения по модулю обладают рядом замечательных свойств, которые делают их удобным инструментом для вычислений.

Основные свойства сравнений

Свойство 1 (рефлексивность). $a \equiv a \pmod{m}$ .

Свойство 2 (симметричность). Если $a \equiv b \pmod{m}$ , то $b \equiv a \pmod{m}$ .

Свойство 3 (транзитивность). Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $b \equiv c \pmod{m}$ , то $a \equiv c \pmod{m}$ .

Свойство 4 (прибавление константы). Если $a \equiv b \pmod{m}$ , то $a + c \equiv b + c \pmod{m}$ для любого целого $c$ .

Свойство 5 (умножение на константу). Если $a \equiv b \pmod{m}$ , то $ac \equiv bc \pmod{m}$ для любого целого $c$ .

Свойство 6 (сложение сравнений). Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$ , то $a + c \equiv b + d \pmod{m}$ .

Свойство 7 (умножение сравнений). Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$ , то $ac \equiv bd \pmod{m}$ .

Свойство 8 (возведение в степень). Если $a \equiv b \pmod{m}$ , то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$ .

Доказательство ключевых свойств

Доказательство свойства умножения сравнений

Докажем, что если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$ , то $ac \equiv bd \pmod{m}$ .

Доказательство:

Из $a \equiv b \pmod{m}$ следует, что $a - b = km$ для некоторого целого $k$ .

Из $c \equiv d \pmod{m}$ следует, что $c - d = lm$ для некоторого целого $l$ .

Рассмотрим разность:

$ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d) = c \cdot km + b \cdot lm = m(ck + bl)$

Так как $ck + bl$ - целое число, то $ac - bd$ делится на $m$ .

Значит, $ac \equiv bd \pmod{m}$ .

Применение сравнений для решения задач

Сравнения по модулю позволяют элегантно решать задачи на делимость и находить остатки от деления огромных чисел - это особенно полезно в задачах углубленного уровня сложности и на олимпиадах.

Пример 1: Нахождение остатка от деления большого числа

Пример 1: Найдите остаток от деления числа на 7

Найдём остаток от деления $2^{100}$ на 7.

Решение:

Заметим, что $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ .

Представим $100$ в виде $100 = 3 \cdot 33 + 1$ .

Тогда $2^{100} = 2^{3 \cdot 33 + 1} = (2^3)^{33} \cdot 2^1 \equiv 1^{33} \cdot 2 \equiv 2 \pmod{7}$ .

Ответ: остаток равен 2.

Пример 2: Доказательство делимости

Пример 2: Доказательство делимости на 9

Докажем, что число $10^n - 1$ делится на 9 при любом натуральном $n$ .

Решение:

$10 \equiv 1 \pmod{9}$

По свойству возведения в степень: $10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{9}$

Значит, $10^n - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{9}$

Следовательно, $10^n - 1$ делится на 9.

Например, $10^3 - 1 = 999$ делится на 9, $10^5 - 1 = 99999$ делится на 9.

Пример 3: Задача с остатками (задача Белоснежки)

Пример 3: Задача о яблоках Белоснежки

Злая Королева принесла Белоснежке корзину с яблоками. Когда она раскладывала яблоки по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз оставалось 3 лишних яблока. А когда она раскладывала их по 7, то лишних яблок не оставалось. Сколько яблок было в корзине?

Решение:

Пусть в корзине $x$ яблок. Тогда:

$x \equiv 3 \pmod{2}$ , $x \equiv 3 \pmod{3}$ , $x \equiv 3 \pmod{4}$ , $x \equiv 3 \pmod{5}$ , $x \equiv 3 \pmod{6}$ , $x \equiv 0 \pmod{7}$ .

Из первых пяти сравнений следует, что $x \equiv 3 \pmod{\text{НОК}(2,3,4,5,6)}$ .

$\text{НОК}(2,3,4,5,6) = 60$ .

Значит, $x \equiv 3 \pmod{60}$ , то есть $x = 60k + 3$ .

Кроме того, $x \equiv 0 \pmod{7}$ , то есть $60k + 3$ делится на 7.

$60k + 3 \equiv 4k + 3 \pmod{7}$ (так как $60 \equiv 4 \pmod{7}$ ).

Нужно, чтобы $4k + 3 \equiv 0 \pmod{7}$ , то есть $4k \equiv 4 \pmod{7}$ , значит $k \equiv 1 \pmod{7}$ .

Наименьшее натуральное $k = 1$ даёт $x = 60 \cdot 1 + 3 = 63$ .

Ответ: в корзине было 63 яблока.

Классы вычетов по модулю

Все числа, сравнимые по модулю $m$ , образуют класс вычетов. Каждый класс состоит из чисел, дающих одинаковый остаток при делении на $m$ .

Классы вычетов по модулю 3

При делении на 3 возможны три остатка: 0, 1, 2. Соответственно, есть три класса вычетов:

Класс 0: числа вида $3k$ (3, 6, 9, 12, ...)
Класс 1: числа вида $3k + 1$ (1, 4, 7, 10, 13, ...)
Класс 2: числа вида $3k + 2$ (2, 5, 8, 11, 14, ...)

Все целые числа разбиваются на эти три класса, и любой класс вычетов можно представить одним представителем - остатком.

💡 Совет: При решении задач на сравнения по модулю часто бывает удобно перебирать возможные остатки. Например, чтобы доказать, что $n^2 + 1$ не делится на 3, достаточно проверить три случая: $n \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$ .

Тренажёры по делению с остатком и сравнениям по модулю

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства». Мы подготовили задания разного уровня сложности - от базовых задач на нахождение остатка до олимпиадных задач на доказательство делимости.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.

Особое внимание уделено задачам на применение свойств сравнений для доказательства делимости и нахождения остатков от деления больших чисел - эти навыки часто проверяются на олимпиадах и в заданиях повышенной сложности.

Задача 1

Покупка букета из нечётного числа цветов

Темы3

Курсы3

Задачи на округление и деление с остатком с цветамиВариант 1

На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Гвоздики стоят 75 рублей за штуку. У Артема есть 700 рублей. Из какого наибольшего числа гвоздик он может купить букет Свете на день рождения?

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Расход пакетиков чая на мероприятии

Темы3

Курсы4

Вариант 1

Каждый день во время смены в лагере расходуется 55 пакетиков чая. Смена в лагере длится 8 дней. В пачке чая 50 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни смены в лагере?

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Деление с остатком

Возможные остатки при делении

Сравнения по модулю

Свойства сравнений по модулю

Доказательство ключевых свойств

Применение сравнений для решения задач

Пример 1: Нахождение остатка от деления большого числа

Пример 2: Доказательство делимости

Пример 3: Задача с остатками (задача Белоснежки)

Классы вычетов по модулю

Тренажёры по делению с остатком и сравнениям по модулю

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой