> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Формула включения\-исключения\. Взаимно однозначное соответствие\. На данной странице разберем две важные темы из курса «Вероятность и статистика» для 8 класса: **формулу включения\-исключения** и **взаимно однозначное соответствие**\. Эти понятия широко используются при решении задач на подсчёт количества элементов множеств, в комбинаторике и теории вероятностей\. **Формула включения\-исключения** \- это метод подсчёта количества элементов в объединении нескольких множеств, который позволяет избежать двойного счёта элементов, принадлежащих пересечениям этих множеств\. ### Формула включения\-исключения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie). Формула включения\-исключения это мощный инструмент для подсчёта элементов в объединении множеств\. Она особенно полезна, когда множества пересекаются, и простым сложением их мощностей нельзя обойтись\. #### Для двух множеств ### **Формула для двух множеств** Для двух множеств $A$ и $B$ формула включения\-исключения выглядит так: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ *Читается: «Мощность объединения множеств A и B равна сумме их мощностей минус мощность их пересечения»\.* **Почему это работает:** Складывая $|A|$ и $|B|$, мы считаем элементы пересечения $A \cap B$ дважды\. Поэтому их нужно вычесть один раз\. **Пример:** В классе 15 человек занимаются вязанием, 20 человек — шитьём, а 10 человек занимаются и тем, и другим\. Сколько всего человек в классе? $|A| = 15$ \(вязание\), $|B| = 20$ \(шитьё\), $|A \cap B| = 10$ $|A \cup B| = 15 + 20 - 10 = 25$ **Ответ:** 25 человек\. **Формула включения\-исключения для двух множеств на кругах Эйлера** *\[Вставить изображение: два пересекающихся круга Эйлера с выделенными областями\]* #### Для трёх множеств ### **Формула для трёх множеств** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie). Для трёх множеств $A$, $B$ и $C$ формула включения\-исключения выглядит так: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$ **Почему это работает:** Сначала складываем мощности всех трёх множеств\. Вычитаем мощности всех попарных пересечений \(элементы, попавшие в два множества, были посчитаны дважды\)\. Прибавляем мощность тройного пересечения \(элементы, попавшие во все три множества, были вычтены трижды, а нужно вычесть один раз\)\. **Пример:** В классе 25 студентов изучают бухгалтерию, 27 — бизнес, 12 — туризм\. При этом 20 студентов изучают бухгалтерию и бизнес, 5 — бухгалтерию и туризм, 3 — туризм и бизнес\. Никто не изучает все три предмета\. Сколько студентов изучают хотя бы один из этих предметов? $|A| = 25$, $|B| = 27$, $|C| = 12$ $|A \cap B| = 20$, $|A \cap C| = 5$, $|B \cap C| = 3$ $|A \cap B \cap C| = 0$ $|A \cup B \cup C| = 25 + 27 + 12 - 20 - 5 - 3 + 0 = 36$ **Ответ:** 36 студентов\. **Формула включения\-исключения для трёх множеств на кругах Эйлера** *\[Вставить изображение: три пересекающихся круга Эйлера с выделенными областями\]* **📌 Важно запомнить:** Формула включения\-исключения позволяет подсчитать количество элементов в объединении множеств, последовательно «включая» и «исключая» элементы пересечений\. Для $n$ множеств формула содержит $2^n - 1$ слагаемых\. ### Взаимно однозначное соответствие **Взаимно однозначное соответствие** \- это важное понятие, которое позволяет сравнивать количества элементов в множествах, даже если эти множества состоят из разных объектов\. ### **Определение взаимно однозначного соответствия** **Взаимно однозначным соответствием** между множествами $A$ и $B$ называется правило \(или способ\), которое каждому элементу множества $A$ ставит в соответствие **единственный** элемент множества $B$, причём: **разным** элементам из $A$ соответствуют **разные** элементы из $B$; **каждый** элемент из $B$ соответствует **некоторому** элементу из $A$\. Если между множествами $A$ и $B$ можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества **равномощны** \(имеют одинаковое количество элементов\)\. **Примеры:** Каждому ученику класса можно поставить в соответствие его место в списке \(если список без пропусков\)\. Это взаимно однозначное соответствие между множеством учеников и множеством номеров\. Каждому натуральному числу $n$ можно поставить в соответствие число $n^2$: $1 \to 1$, $2 \to 4$, $3 \to 9$, \.\.\. Это взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством квадратов натуральных чисел\. Каждой точке на числовой прямой можно поставить в соответствие её координату — это взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами\. **💡 Зачем это нужно:** Взаимно однозначное соответствие — это основа для сравнения мощностей множеств\. Оно позволяет «пересчитать» элементы одного множества через другое, что часто упрощает решение комбинаторных задач\. ### Применение в теории вероятностей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie). Формула включения\-исключения и взаимно однозначное соответствие активно используются в теории вероятностей для подсчёта числа благоприятных исходов\. ### **Пример задачи на вероятность** **Задача\.** Сколько чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5? **Решение\.** Пусть $A$ — множество чисел, делящихся на 2; $B$ — делящихся на 3; $C$ — делящихся на 5\. $|A| = \left\lfloor \frac{100}{2} \right\rfloor = 50$ $|B| = \left\lfloor \frac{100}{3} \right\rfloor = 33$ $|C| = \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20$ $|A \cap B| = \left\lfloor \frac{100}{6} \right\rfloor = 16$ \(делятся на 6\) $|A \cap C| = \left\lfloor \frac{100}{10} \right\rfloor = 10$ \(делятся на 10\) $|B \cap C| = \left\lfloor \frac{100}{15} \right\rfloor = 6$ \(делятся на 15\) $|A \cap B \cap C| = \left\lfloor \frac{100}{30} \right\rfloor = 3$ \(делятся на 30\) По формуле включения\-исключения: $|A \cup B \cup C| = 50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74$ Значит, чисел, которые не делятся ни на одно из этих чисел: $100 - 74 = 26$ **Ответ:** 26 чисел\. ## Тренажёры по формуле включения\-исключения На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Формула включения\-исключения\. Взаимно однозначное соответствие»\. Все задания составлены на основе типовых задач из курса «Вероятность и статистика» для 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам по вероятности и статистике\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula_vklyucheniya_isklyucheniya_vzaimno_odnoznachnoe_sootvetstvie).