> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/funktsiya-hyperbola](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/funktsiya-hyperbola). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Функция y = k/x и график гиперболы в 8 классе Тема **«Функция y = k/x и её график» в 8 классе** — важнейший раздел школьной алгебры, открывающий изучение дробно\-рациональных выражений и криволинейных графиков с разрывами\. В отличие от непрерывных прямых и парабол, график обратной пропорциональности состоит из двух раздельных ветвей\. Глубокое понимание этой темы необходимо для успешного прохождения школьных контрольных работ, а также решения **задания 22 во второй части ОГЭ по математике**, где регулярно требуется строить кусочные функции с гиперболами и исследовать количество точек пересечения с горизонтальными прямыми\. На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме: определение обратной пропорциональности, геометрическая роль коэффициента k, понятие вертикальной и горизонтальной асимптот, формулы смещения графика вдоль осей и пошаговый алгоритм построения по точкам\. После теоретического блока вы найдёте [интерактивные онлайн\-тренажёры с автоматической проверкой ответов](#trenazher-i-zadachi-giperbola-8-klass) на платформе Экзамео\. ### График обратной пропорциональности > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/funktsiya-hyperbola](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/funktsiya-hyperbola). Функцию вида $$ y = \dfrac{k}{x} $$ где $k$ — некоторое действительное число, $k \neq 0$, называют **обратной пропорциональностью**\. При этом число $k$ называют **коэффициентом обратной пропорциональности**\. Графиком обратной пропорциональности является **гипербола**, состоящая из двух симметричных ветвей, расположенных в противоположных координатных четвертях\.  Самый стандартный график гиперболы выглядит как на рисунке выше\. ## Свойства гиперболы Функция $y = \dfrac{k}{x}$ обладает рядом важных математических свойств: #### **Область определения \(**$D(y)$**\):** на ноль делить нельзя, поэтому переменная $x$ принимает любые действительные значения, кроме нуля: $x \neq 0$ \(или $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$\)\. График никогда не пересекает вертикальную ось $Oy$\. #### **Область значений \(**$E(y)$**\):** дробь с ненулевым числителем $k$ ни при каких $x$ не может равняться нулю: $y \neq 0$ \(или $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$\)\. График никогда не пересекает горизонтальную ось $Ox$\. #### **Центральная симметрия \(нечётность\):** функция является нечётной, так как $y(-x) = \dfrac{k}{-x} = -\dfrac{k}{x} = -y(x)$\. Это означает, что график гиперболы **симметричен относительно начала координат — точки **$(0; 0)$\. Каждой точке $(x; y)$ на одной ветви строго соответствует парная точка $(-x; -y)$ на противоположной ветви\. ### Влияние коэффициента k > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/funktsiya-hyperbola](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/funktsiya-hyperbola). Случай k \> 0 ##### Первая и третья четверти **Расположение:** ветви лежат в I и III координатных четвертях\. **Монотонность:** функция **убывает** на промежутке $(-\infty; 0)$ и **убывает** на промежутке $(0; +\infty)$\.  *Важно:* нельзя говорить, что функция убывает на всей области определения, так как при переходе через точку $x = 0$ значение перескакивает из отрицательной бесконечности в положительную\. Случай k < 0 ##### Вторая и четвёртая четверти **Расположение:** ветви лежат во II и IV координатных четвертях\. **Монотонность:** функция **возрастает** на промежутке $(-\infty; 0)$ и **возрастает** на промежутке $(0; +\infty)$\.  **Модуль коэффициента:** чем больше $|k|$, тем дальше ветви гиперболы отодвинуты от начала координат $(0; 0)$ и осей\. **Задание:** Ветвь гиперболы проходит через точку $A(-2; 6)$\. Найдите значение коэффициента $k$, запишите формулу функции и определите, в каких четвертях расположен её график\. **Пошаговый разбор:** 1\) Подставим координаты точки $x = -2$ и $y = 6$ в общее уравнение $y = \dfrac{k}{x}$: $$ 6 = \dfrac{k}{-2} $$ 2\) Выразим коэффициент $k$: $$ k = 6 \cdot (-2) = -12 $$ 3\) Формула функции имеет вид: $$ y = -\dfrac{12}{x} $$ 4\) Так как $k = -12 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях\. **Ответ:** $k = -12$; функция $y = -\dfrac{12}{x}$; ветви во II и IV четвертях\. #### Асимптоты гиперболы **Асимптота** — это прямая линия, к которой бесконечно близко приближается ветвь графика функции при удалении в бесконечность, но никогда её не пересекает\. У стандартной гиперболы $y = \dfrac{k}{x}$ есть ровно две взаимно перпендикулярные асимптоты: • **Вертикальная асимптота \(прямая **$x = 0$**, ось **$Oy$**\):** когда аргумент $x$ стремится к нулю слева или справа, знаменатель становится бесконечно малым, а значения функции $y$ уходят на плюс или минус бесконечность\. График вплотную «прижимается» к оси ординат\. • **Горизонтальная асимптота \(прямая **$y = 0$**, ось **$Ox$**\):** когда аргумент $x$ неограниченно растёт по модулю \($x \to \pm\infty$\), дробь $\dfrac{k}{x}$ становится бесконечно малой и приближается к нулю\. График вплотную «прижимается» к оси абсцисс\. #### Сдвиги графика гиперболы и смещение асимптот В заданиях повышенной сложности 8 класса и в **задании 22 ОГЭ** изучается общий вид дробно\-линейной функции: $$ y = \dfrac{k}{x - a} + b $$ Этот график получается из классической гиперболы $y = \dfrac{k}{x}$ с помощью параллельного переноса \(сдвига\), при котором вместе с графиком перемещаются и его асимптоты: ##### Сдвиг по горизонтали \(вдоль оси Ox\) Задаётся вычитанием числа $a$ в знаменателе: • При $y = \dfrac{k}{x - 3}$ график сдвигается **вправо** на 3 единицы\. Новая вертикальная асимптота: $x = 3$\. • При $y = \dfrac{k}{x + 2} = \dfrac{k}{x - (-2)}$ график сдвигается **влево** на 2 единицы\. Новая вертикальная асимптота: $x = -2$\. ##### Сдвиг по вертикали \(вдоль оси Oy\) Задаётся свободным слагаемым $b$ вне дроби: • Прибавление $+ b$ сдвигает график **вверх** на $b$ единиц\. Новая горизонтальная асимптота: $y = b$\. • Вычитание $- b$ сдвигает график **вниз** на $b$ единиц\. Новая горизонтальная асимптота: $y = -b$\. Точка пересечения новых асимптот $(a; b)$ становится новым центром симметрии фигуры\. **Задание \(прототип ОГЭ 22\):** Постройте график функции $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$\. Определите уравнения его асимптот\. **Пошаговый разбор:** 1\) Выделим целую часть в числителе, представив слагаемое $2x$ через выражение $(x - 1)$: $$ 2x + 1 = 2(x - 1) + 2 + 1 = 2(x - 1) + 3 $$ 2\) Разделим числитель почленно на знаменатель: $$ y = \dfrac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1)}{x - 1} + \dfrac{3}{x - 1} = 2 + \dfrac{3}{x - 1} = \dfrac{3}{x - 1} + 2 $$ 3\) Анализируем полученный вид $y = \dfrac{3}{x - 1} + 2$: • Базовый график: гипербола $y = \dfrac{3}{x}$ \($k = 3 > 0$, ветви в I и III четвертях относительно асимптот\)\. • Сдвиг на 1 единицу вправо $\implies$ вертикальная асимптота: прямая $x = 1$\. • Сдвиг на 2 единицы вверх $\implies$ горизонтальная асимптота: прямая $y = 2$\. • Центр симметрии сместился в точку $(1; 2)$\. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = 1$, горизонтальная асимптота $y = 2$\. ### Как построить график гиперболы по точкам Чтобы качественно построить гиперболу в тетради, следуйте алгоритму из четырёх последовательных шагов: **Определите четверти и нанесите асимптоты:** По знаку коэффициента $k$ выясните расположение ветвей \(I и III четверти при $k > 0$, II и IV при $k < 0$\)\. Если функция смещена, проведите пунктиром прямые асимптот $x = a$ и $y = b$\. **Подберите делители числа k для таблицы:** В качестве значений $x$ выбирайте числа, на которые делитель $k$ делится без остатка \(нацело\)\. Рассчитайте значения $y$ отдельно для положительных $x$ \(правая ветвь\) и отрицательных $x$ \(левая ветвь\)\. Для каждой ветви нужно найти минимум 4–5 точек\. **Нанесите точки на координатную плоскость:** Отметьте вычисленные точки на чертеже, соблюдая единичный отрезок\. **Соедините точки плавными линиями:** Проведите две гладкие кривые\. Ветви должны плавно приближаться к асимптотам, ни в коем случае не пересекая их и не отгибаясь в противоположную сторону\. ##### Заметка: ветви гиперболы никогда не соединяются • График гиперболы терпит разрыв в точке вертикальной асимптоты\. **Категорически запрещено соединять левую и правую ветви отрезком через ось ординат\!** Это две абсолютно изолированные друг от друга кривые линии\. Для построения графика $y = \dfrac{6}{x}$ составим таблицу значений, выбрав все делители числа 6\. Их записываем в первую строчку рядом с обозначением X, затем подставляем их в функцию и рассчитываем значения для y **x** $-6$ $-3$ $-2$ $-1$ $1$ $2$ $3$ **y** $-1$ $-2$ $-3$ $-6$ $6$ $3$ $2$ При нанесении точек видно, что точки левой ветви симметричны точкам правой ветви относительно центра $(0; 0)$\. #### Ошибки при работе с гиперболой При выполнении контрольных работ и экзаменационных заданий учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки: ##### Пересечение асимптот графиком На чертеже доводят ветвь до оси координат и пересекают её\. Ветви гиперболы лишь бесконечно приближаются к своим асимптотам, но никогда их не касаются и не пересекают\! ##### Построение только одной ветви Вычисляют значения только для положительных $x$ и строят одну дугу, забывая про отрицательную половину числовой оси\. График гиперболы всегда состоит из двух ветвей\. ##### Неверное направление горизонтального сдвига В функции $y = \dfrac{k}{x + 4}$ сдвигают асимптоту вправо, видя знак «плюс»\. Выражение $x + 4 = x - (-4)$ означает сдвиг строго **влево** на 4 единицы \(вертикальная асимптота $x = -4$\)\. ## Задания и тренажёр по гиперболе на Экзамео В интерактивных тренажёрах образовательной платформы Экзамео собраны практические задания по теме «Функция y = k/x и график гиперболы» для 8 класса: нахождение коэффициента $k$ по точке, чтение свойств функции, сдвиги асимптот, а также задачи линии 22 ОГЭ по математике с подробными видеоразборами и моментальной автопроверкой ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/funktsiya-hyperbola](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/funktsiya-hyperbola).