> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Градусная мера дуги окружности В этом разделе рассматривается градусная мера дуги окружности, её определение, свойства и тесная связь с центральным углом\. Материал содержит правила нахождения угловых величин дуг, вычисления градусных мер через соотношения частей окружности, а также разбор теорем, изучаемых в 8 классе\. Разобраны типы дуг \(меньшая дуга, большая дуга и полуокружность\) и правила их обозначения\. Приведены примеры решения практических задач, часто встречающихся в контрольных работах и материалах ОГЭ по математике\. Отдельное внимание уделено различию между градусной мерой дуги и её длиной в сантиметрах: градусная мера дуги зависит исключительно от соответствующего центрального угла и не определяется радиусом окружности\. Отработать тему градусная мера дуги окружности можно после теории в тренажёрах с подробными решениями\. ## Градусная мера дуги окружности \- полный разбор темы 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti). Ниже подробно разбираем все определения, свойства и теоремы, связанные с дугой окружности и центральным углом, которые изучаются в 8 классе на уроках геометрии\. ### Центральный угол и градусная мера дуги Любые две точки $A$ и $B$, лежащие на окружности, делят её на две замкнутые части\. Каждая из этих частей называется **дугой окружности**, а точки $A$ и $B$ — концами этих дуг\. #### Определение центрального угла и дуги 🎯 Угол с вершиной в центре окружности называется **центральным углом**\. **Градусная мера дуги окружности** — это градусная мера соответствующего ей центрального угла: $$ \cup AB = \angle AOB $$  ### Виды дуг и градусная мера полной окружности > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti). Градусная мера всей окружности равна $360^\circ$\. В зависимости от размера центрального угла и расположения точек выделяют три вида дуг: #### Классификация дуг окружности: 1\. **Полуокружность:** дуга, концы которой являются диаметром окружности\. $$ \text{Градусная мера полуокружности} = 180^\circ $$ 2\. **Меньшая дуга:** дуга, которая меньше полуокружности\. Её градусная мера **меньше **$180^\circ$ и равна градусной мере меньшего центрального угла $\angle AOB$\. 3\. **Большая дуга:** дуга, которая больше полуокружности\. Её градусная мера **больше **$180^\circ$ и находится вычитанием меньшей дуги из $360^\circ$: $$ \cup ALB = 360^\circ - \cup AB $$ Чтобы различать меньшую и большую дугу с одинаковыми концами $A$ и $B$, на большой дуге ставят дополнительную букву \(например, $L$ или $M$\) и записывают $\cup ALB$\. ### Свойство сложения градусных мер дуг Если точка $C$ лежит на дуге $AB$ и разбивает её на две части, то градусная мера всей дуги равна сумме градусных мер образованных дуг: $$ \cup ACB = \cup AC + \cup CB $$ #### Важно различать\! 💡 **Градусная мера дуги окружности** измеряется только в градусах \($^\circ$\) и показывает её угловую величину\. **Длина дуги окружности** измеряется в сантиметрах или метрах и рассчитывается по формуле $L = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$\. Две дуги разных окружностей могут иметь одинаковую градусную меру, но разную длину\. ### Разбор задач из проверочных работ на градусную меру окружности за 8 класс Рассмотрите решения характерных задач на градусную меру дуги окружности из школьной программы и ОГЭ\. **Задание:** Градусная мера центрального угла $AOB$ равна $125^\circ$\. Найдите градусную меру меньшей и большей дуг $AB$\. **Подробное решение:** 1\) По определению градусная мера меньшей дуги равна градусной мере центрального угла: $$ \cup AB = \angle AOB = 125^\circ $$ 2\) Градусная мера большей дуги дополняет меньшую дугу до $360^\circ$: $$ \cup ALB = 360^\circ - \cup AB = 360^\circ - 125^\circ = 235^\circ $$ **Ответ:** меньшая дуга равна $125^\circ$, большая дуга равна $235^\circ$\. **Задание:** Точки $A, B, C$ делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 4 : 5$\. Найдите градусную меру каждой дуги и углы треугольника $ABC$\. **Подробное решение:** 1\) Пусть $x$ — градусная мера одной части\. Тогда дуги равны $3x, 4x, 5x$\. 2\) Полная окружность составляет $360^\circ$: $$3x \+ 4x \+ 5x = 360^\\circ \\implies 12x = 360^\\circ \\implies x = 30^\\circ$$ 3\) Находим градусные меры дуг: • $\cup AB = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ • $\cup BC = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ • $\cup CA = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$ **Ответ:** $90^\circ, 120^\circ, 150^\circ$\. ## Тренажёры по теме «Градусная мера дуги окружности» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti). Отработать определение и свойства градусной меры дуги окружности можно после теории в интерактивных тренажёрах на платформе «Экзамео»\. Задания для 8 класса охватывают нахождение градусных мер дуг через центральные углы, расчеты отношений частей окружности и решение геометрии с окружностями\. Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы\. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет пошаговые решения, что помогает своевременно разобрать ошибки\. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti).