<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Корни многочлена\. Теорема Безу\. Схема Горнера

Тема многочлены проходится в 7 классе, вы учитесь их преобразовывать, но научиться их решать вы можете научиться только в 8 классе\.

На данной странице разберем теорию по темам **корни многочлена, теорема Безу и схема Горнера**\. Эти темы проходятся в 8 классе и являются основой для решения уравнений высших степеней \(кубических, четвёртой степени и выше\), которые встречаются в ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадных задачах по математике\.

**Корень многочлена** \- это значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль\.

**Теорема Безу** \- это фундаментальная теорема, которая связывает корень многочлена с его делимостью на двучлен\.

**Схема Горнера** \- это эффективный алгоритм для деления многочлена на двучлен и вычисления его значений\.

### Корни многочлена

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera).


Начнём с самого важного определения, на котором строится вся теория \- разберем что такое корень многочлена\.

### **Что такое корень многочлена**

Число $c$ называется **корнем многочлена** $f(x)$, если при подстановке $x = c$ значение многочлена равно нулю: $f(c) = 0$\.

**Пример:** Для многочлена $f(x) = x^2 - 5x + 6$ число $2$ является корнем, так как $f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$\. Число $3$ тоже является корнем: $f(3) = 9 - 15 + 6 = 0$\.

**Кратность корня\.** Если многочлен $f(x)$ делится на $(x - c)^k$, но не делится на $(x - c)^{k+1}$, то говорят, что $c$ \- корень **кратности **$k$\.

**Пример:** $f(x) = (x - 1)^3(x + 2)$\. Здесь $x = 1$ \- корень кратности 3, а $x = -2$ \- корень кратности 1 \(простой корень\)\.

**📌 Важно запомнить:** Многочлен степени $n$ **не может иметь более** $n$ различных корней\. Это свойство часто используется при решении уравнений\.

### Приёмы для поиска корней многочлена

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera).


Прежде чем применять схему Горнера, полезно знать несколько удобных приёмов, которые помогают быстро найти корни многочлена и упростить задачу решения таких уравнений\.

Мы настоятельно рекомендуем вам их запомнить \- они реально ускоряют процесс решения уравнений высших порядков\.

**Сумма коэффициентов равна 0**

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна 0, то $x = 1$** является корнем**\.

**Пример:** $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 
Сумма коэффициентов: $1 - 2 + 1 = 0$ 
Значит, $x = 1$ — корень\.

**Сумма коэффициентов на чётных и нечётных местах**

Если сумма коэффициентов на чётных позициях равна сумме на нечётных, то $x = -1$** является корнем**\.

**Пример:** $f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ 
Чётные позиции \(при $x^2$ и $x^0$\): $2 - 2 = 0$ 
Нечётные \(при $x^3$ и $x^1$\): $1 - 1 = 0$ 
Значит, $x = -1$ — корень\.

**Целые корни — делители свободного члена**

Если многочлен имеет целые коэффициенты и старший коэффициент равен 1, то **все рациональные корни являются целыми числами** и являются **делителями свободного члена**\.

**Пример:** $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ 
Свободный член = 3\. 
Делители: $\pm1, \pm3$\. 
Проверяем: $f(1)=0$, значит, $x=1$ — корень\.

**Рациональные корни**

Если $p/q$ — корень многочлена с целыми коэффициентами, то $p$** — делитель свободного члена, **$q$** — делитель старшего коэффициента**\.

**Пример:** $f(x) = 2x^3 - 3x - 1$ 
$p = \pm1$, $q = \pm1, \pm2$\. 
Кандидаты: $\pm1, \pm\frac{1}{2}$\. 
Проверка: $f(-1) = 0$, значит, $x = -1$ — корень\.

**💡 Важно:** Значение $f(0)$ всегда равно **свободному члену** многочлена\. Значение $f(1)$ равно **сумме всех коэффициентов**\.

### Теорема Безу

Теорема Безу это одна из важнейших теорем в теории многочленов\. Она связывает значение многочлена с остатком от его деления на двучлен и позволяет находить корни без непосредственного деления\. Разберем её формулировку и как она применяется при решении задач\.

Особенно часто задания на теорему Безу встречаются в олимпиадных заданиях по математике в 8 и 9 классе, но уравнения высших порядков могут встречаться и во второй части ЕГЭ по математике\.

### **Формулировка теоремы Безу**

**Остаток от деления многочлена **$f(x)$** на двучлен **$(x - c)$** равен значению многочлена при **$x = c$**, то есть **$f(c)$\.

Из этой теоремы существует два следствия:

**Следствие 1 \(критерий корня\)\.** Число $c$ является корнем многочлена $f(x)$ **тогда и только тогда**, когда $f(x)$ **делится нацело** на $(x - c)$\.

**Следствие 2 \(понижение степени\)\.** Если $c$ — корень многочлена $f(x)$, то $f(x) = (x - c) \cdot g(x)$, где $g(x)$ — многочлен степени на 1 меньше\.

### **Пример применения теоремы Безу**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera).


Проверим, делится ли многочлен $f(x) = x^5 - 5x^4 + 8x^3 - 5x^2 + x + 2$ на $(x - 2)$\.

По теореме Безу, достаточно вычислить $f(2)$:

$f(2) = 32 - 80 + 64 - 20 + 2 + 2 = 0$

Так как $f(2) = 0$, то $x = 2$ — корень, и многочлен **делится нацело** на $(x - 2)$\.

*Обратите внимание: чтобы проверить делимость, нам не пришлось выполнять деление «уголком»\.*

### Схема Горнера

**Схема Горнера** \- это алгоритм, который позволяет быстро делить многочлен на двучлен $(x - c)$ и одновременно вычислять значение многочлена $f(c)$\. Этот метод значительно экономит время и упрощает вычисления, особенно для многочленов высокой степени\.

#### Как работает схема Горнера

Пусть дан многочлен $f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$\. Разделим его на $(x - c)$:

$f(x) = (x - c) \cdot g(x) + r$

где $g(x) = b_0x^{n-1} + b_1x^{n-2} + \dots + b_{n-2}x + b_{n-1}$, а $r$ — остаток\.

**Коэффициенты **$b_i$** и остаток **$r$** вычисляются по формулам:**

$b_0 = a_0$

*Обратите внимание: последнее число *$r$* — это и есть значение *$f(c)$* по теореме Безу\!*

#### Таблица для схемы Горнера

Все вычисления удобно оформлять в виде таблицы:

#### \*\*\*\*

#### $a_0$

#### $a_1$

#### $a_2$

#### $...$

#### $a_n$

$c$

$b_0 = a_0$

$b_1 = a_1 + c \cdot b_0$

$b_2 = a_2 + c \cdot b_1$

$...$

$r = a_n + c \cdot b_{n-1}$

#### Пример деления по схеме Горнера

Разделим многочлен $f(x) = x^3 - 5x^2 + 8$ на $(x - 2)$ с помощью схемы Горнера\.

**Шаг 1\.** Записываем коэффициенты многочлена \(не забываем про нулевые коэффициенты\!\)\.

$f(x) = 1 \cdot x^3 + (-5) \cdot x^2 + 0 \cdot x + 8$

Коэффициенты: **1, \-5, 0, 8**

**Шаг 2\.** Заполняем таблицу для $c = 2$:

#### \*\*\*\*

#### **1**

#### **\-5**

#### **0**

#### **8**

$2$

$1$

$2 \cdot 1 + (-5) = -3$

$2 \cdot (-3) + 0 = -6$

$2 \cdot (-6) + 8 = -4$

**Шаг 3\.** Читаем результат\.

В нижней строке: **1, \-3, \-6, \-4**

Первые три числа — коэффициенты частного: $g(x) = x^2 - 3x - 6$

Последнее число — остаток: $r = -4$

**Ответ:**

$x^3 - 5x^2 + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 6) - 4$

#### Пример поиска корней с помощью схемы Горнера

Найдём все корни многочлена $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$\.

**Шаг 1\.** Выписываем делители свободного члена \(\-6\): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$\.

**Шаг 2\.** Проверяем кандидаты по схеме Горнера\.

#### \*\*\*\*

#### **1**

#### **2**

#### **\-5**

#### **\-6**

$-1$

$1$

$1$

$-6$

$0$ ← корень\!

$x = -1$ — корень\.

**Шаг 3\.** Понижаем степень\. Коэффициенты частного: **1, 1, \-6**

$f(x) = (x + 1)(x^2 + x - 6)$

**Шаг 4\.** Решаем квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$:

$x = -3$ или $x = 2$

**Ответ:** корни многочлена: $-3, -1, 2$\.

#### Объединённая схема Горнера

Если нужно проверить несколько кандидатов в корни, строят **объединённую схему** — это экономит время и упрощает вычисления\.

Проверим, делится ли многочлен $f(x) = x^5 - 5x^4 + 8x^3 - 5x^2 + x + 2$ на $(x - 1)$, $(x + 1)$ и $(x - 2)$\.

Заполняем одну таблицу для всех проверяемых значений:

#### \*\*\*\*

#### **1**

#### **\-5**

#### **8**

#### **\-5**

#### **1**

#### **2**

$1$

$1$

$-4$

$4$

$-1$

$0$

$2$ ← не 0

$-1$

$1$

$-6$

$14$

$-19$

$20$

$-18$ ← не 0

$2$

$1$

$-3$

$2$

$-1$

$0$

$2$ ← не 0

**Вывод:** $x = 1$ и $x = -1$ и $x = 2$ **не являются** корнями, так как остаток не равен 0 ни в одном случае\.

*Обратите внимание: при проверке *$x = 1$* остаток равен 2, а не 0\. Значит, на *$(x - 1)$* многочлен не делится\.*

### Применение для решения уравнений

Схема Горнера и теорема Безу вместе дают мощный метод решения уравнений высших степеней\. Найдя один корень, мы понижаем степень уравнения и решаем уже более простое уравнение\.

### **Алгоритм решения уравнений высших степеней**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera).


**Шаг 1\.** Найти один корень многочлена, проверяя делители свободного члена\.

**Шаг 2\.** Разделить многочлен на $(x - c)$ по схеме Горнера\.

**Шаг 3\.** Получить уравнение меньшей степени и решить его \(например, квадратное\)\.

**Шаг 4\.** Записать все найденные корни\.

**💡 Совет:** Если многочлен имеет целые коэффициенты и старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются **целыми числами** и их нужно искать среди **делителей свободного члена**\. Это значительно сокращает перебор\.

## Тренажёры по корням многочлена, теореме Безу и схеме Горнера

На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «корни многочлена»\. Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры для углублённого изучения и сборников для подготовки к ЕГЭ по математике\.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения\. Это особенно важно при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике\.

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera).