> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Квадратный трехчлен На данной странице разберем тему **квадратный трёхчлен** \- одно из ключевых понятий в алгебре 8 класса\. Квадратные трёхчлены встречаются повсюду: при решении квадратных уравнений, в задачах на движение, в геометрии и даже при анализе графиков функций\. Понимание этой темы необходимо для успешной сдачи самостоятельных и контрольных работ, а также ОГЭ и ЕГЭ по математике\. Это наверное самая главная тема по алгебре, которую должен понимать каждый восьмиклассник\. Уделите ей особое внимание и всем темам, которые связаны с ней\. **Квадратный трёхчлен** \- это многочлен второй степени с одной переменной, имеющий вид $ax^2 + bx + c$, где $x$ это переменная, а $a$, $b$, $c$ \- некоторые числа, причём $a \neq 0$\. ### Что такое квадратный трёхчлен > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen). Начнём с определения\. Квадратный трёхчлен \- это многочлен, который содержит переменную во второй степени \(квадрате\), а также может содержать переменную в первой степени и число \(свободный член\)\. ### **Определение квадратного трёхчлена** **Квадратным трёхчленом** называется многочлен вида:$ax^2 + bx + c$,где: $x$ \- переменная,$a$**, **$b$**, **$c$ \- коэффициенты\(некоторые числа\), при условии, что$a \neq 0$ \(старший коэффициент не может быть равен нулю, иначе трёхчлен перестанет быть квадратным\)\. #### **Примеры квадратных трёхчленов:** Посмотрим примеры квадратных трехчленов и чему равны их коэффициенты $3x^2 - 2x - 5$ \($a = 3$, $b = -2$, $c = -5$\) $x^2 + 7x - 8$ \($a = 1$, $b = 7$, $c = -8$\) $-x^2 + 2x + 5$ \($a = -1$, $b = 2$, $c = 5$\) $7x^2 - x$ \($a = 7$, $b = -1$, $c = 0$\) $2x^2 + 3$ \($a = 2$, $b = 0$, $c = 3$\) **📌 Важно запомнить:** Коэффициенты $b$ и $c$ **могут быть равны нулю**\. Например, $7x^2 - x$ — это квадратный трёхчлен, у которого $c = 0$\. А $2x^2 + 3$ — трёхчлен, у которого $b = 0$\. Главное условие — $a \neq 0$\. ### Корни квадратного трёхчлена > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen). Прежде чем говорить о корнях квадратного трёхчлена, вспомним, что такое **корень многочлена** вообще\. ### **Что такое корень многочлена** **Корнем многочлена** называется значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль\. **Пример:** Найдём корни многочлена $x^3 - x$\. Решим уравнение $x^3 - x = 0$\. Разложим на множители: $x(x - 1)(x + 1) = 0$\. Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$\. *Числа *$0$*, *$1$* и *$-1$* — корни многочлена *$x^3 - x$*\.* Теперь перейдём непосредственно к **корням квадратного трёхчлена**\. ### **Корни квадратного трёхчлена** **Определение\.** **Корнями квадратного трёхчлена** $ax^2 + bx + c$ называются значения переменной $x$, при которых $ax^2 + bx + c = 0$\. Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, нужно **решить соответствующее квадратное уравнение** $ax^2 + bx + c = 0$\. **Пример 1\.** Найдём корни квадратного трёхчлена $3x^2 - 2x - 5$\. Решаем уравнение $3x^2 - 2x - 5 = 0$\. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$ $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 \pm 8}{6}$ $x_1 = \dfrac{2 + 8}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$, $x_2 = \dfrac{2 - 8}{6} = \dfrac{-6}{6} = -1$ **Ответ:** корни трёхчлена $3x^2 - 2x - 5$: $\dfrac{5}{3}$ и $-1$\. ### Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen). Квадратный трёхчлен, как и квадратное уравнение, может иметь **два корня, один корень или не иметь корней вообще**\. Всё зависит от значения **дискриминанта**\. ### **Дискриминант квадратного трёхчлена** **Определение\.** **Дискриминантом** квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ называется выражение: $D = b^2 - 4ac$ Количество корней квадратного трёхчлена определяется знаком дискриминанта: #### **Знак дискриминанта** #### **Количество корней** $D > 0$ **Два** различных корня $D = 0$ **Один** корень \(два совпадающих\) $D < 0$ **Не имеет** корней ### Выделение квадрата двучлена из квадратного трёхчлена При решении многих задач бывает удобно представить квадратный трёхчлен в виде $a(x - m)^2 + n$\. Это преобразование называется **выделением квадрата двучлена**\. ### **Зачем нужно выделять квадрат двучлена** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen). Выделение квадрата двучлена позволяет: **Найти вершину параболы** \- точки максимума или минимума квадратичной функции; **Решать задачи на оптимизацию** \(нахождение наибольшего или наименьшего значения\); **Упрощать** сложные выражения; **Решать уравнения** и неравенства\. #### Алгоритм выделения квадрата двучлена ### **Пошаговый алгоритм** **Шаг 1\.** Вынести за скобки коэффициент $a$ \(старший коэффициент\)\. **Шаг 2\.** В скобках представить выражение $x^2 + \frac{b}{a}x$ как $x^2 + 2 \cdot m \cdot x$, где $m = \frac{b}{2a}$\. **Шаг 3\.** Прибавить и вычесть $m^2$ внутри скобок\. **Шаг 4\.** Свернуть выражение по формуле $x^2 + 2mx + m^2 = (x + m)^2$\. **Шаг 5\.** Упростить полученное выражение\. #### Пример выделения квадрата двучлена Выделим квадрат двучлена из трёхчлена $3x^2 - 36x + 140$\. **Шаг 1\.** Выносим $3$ за скобки: $3x^2 - 36x + 140 = 3\left(x^2 - 12x + \dfrac{140}{3}\right)$ **Шаг 2\.** В скобках выделяем квадрат двучлена\. Представляем $12x$ как $2 \cdot 6 \cdot x$: $x^2 - 12x + \dfrac{140}{3} = x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + \dfrac{140}{3}$ **Шаг 3\.** Прибавляем и вычитаем $6^2 = 36$: $x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 36 - 36 + \dfrac{140}{3}$ **Шаг 4\.** Сворачиваем в квадрат разности: $(x - 6)^2 - 36 + \dfrac{140}{3} = (x - 6)^2 + \dfrac{32}{3}$ **Шаг 5\.** Возвращаем множитель $3$: $3\left((x - 6)^2 + \dfrac{32}{3}\right) = 3(x - 6)^2 + 32$ **Ответ:** $3x^2 - 36x + 140 = 3(x - 6)^2 + 32$ ### Применение выделения квадрата двучлена в задачах Рассмотрим задачу, в которой выделение квадрата двучлена помогает найти наибольшее или наименьшее значение выражения\. **Задача\.** Докажем, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат\. **Решение\.** Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см\. Тогда вторая сторона равна $10 - x$ см \(так как периметр равен 20, полупериметр равен 10\)\. Площадь прямоугольника: $S = x(10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x$ Это квадратный трёхчлен с $a = -1$, $b = 10$, $c = 0$\. Выделим квадрат двучлена: $-x^2 + 10x = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = -((x - 5)^2 - 25)$ $-x^2 + 10x = -(x - 5)^2 + 25$ Выражение $-(x - 5)^2$ при любом $x \neq 5$ отрицательно, поэтому сумма $-(x - 5)^2 + 25$ принимает **наибольшее значение** при $x = 5$\. При $x = 5$ одна сторона равна 5 см, а вторая $10 - 5 = 5$ см\. Значит, прямоугольник является **квадратом**\. **Ответ:** наибольшую площадь имеет квадрат со стороной 5 см\. ### Разложение квадратного трёхчлена на множители > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen). Если квадратный трёхчлен имеет корни, его можно разложить на множители\. Это очень полезно при решении уравнений, сокращении дробей и упрощении выражений\. ### **Формула разложения квадратного трёхчлена** Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, то: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ **Пример:** Разложим на множители $3x^2 - 2x - 5$\. Мы нашли корни: $x_1 = \dfrac{5}{3}$, $x_2 = -1$\. $3x^2 - 2x - 5 = 3\left(x - \dfrac{5}{3}\right)(x + 1)$ Можно записать иначе: $(3x - 5)(x + 1)$\. **💡 Совет:** Если дискриминант $D < 0$ и корней нет, то разложить квадратный трёхчлен на множители **нельзя** \(в области действительных чисел\)\. ### Связь квадратного трёхчлена с квадратичной функцией Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ — это не просто алгебраическое выражение\. Он задаёт **квадратичную функцию** $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является **парабола**\. ### **Как связаны корни трёхчлена и график функции** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen). **Корни трёхчлена** — это точки пересечения параболы с осью $Ox$\. Если $D > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в **двух точках**\. Если $D = 0$, парабола **касается** оси $Ox$ в одной точке\. Если $D < 0$, парабола **не пересекает** ось $Ox$\. **Вершина параболы** находится в точке $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$\. Это значение можно получить из выделения квадрата двучлена\. ## Тренажёры по квадратному трёхчлену На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Квадратный трёхчлен»\. Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/kvadratnyy-trehchlen).