> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Линейные неравенства \- разбор темы и тренажёры В 8 классе на алгебре вам предстоит познакомиться с важным разделом \- **линейные неравенства с одной переменной**\. На этой странице разберем подробно эту тему: научимся решать неравенства \- посмотрим какие виды заданий, решений и ответов могут встречаться на самостоятельных работах Эта тема является основой для решения более сложных неравенств и систем неравенств, которые проходятся в 8 и 9 классе, встречаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике\. **Линейные неравенства** \- это неравенства вида $ax > b$ или $ax < b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа\. Решить такое неравенство \- значит найти все значения переменной $x$, при которых неравенство становится верным числовым утверждением\. ### Что такое решение неравенства > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva). Самое главное нужно научиться решать линейные неравенства \- разберёмся что это значит и как можно найти решение неравенства Рассмотрим неравенство $5x - 11 > 3$\. При одних значениях переменной $x$ оно обращается в верное числовое неравенство, а при других — нет\. ### **Пример проверки решения** Проверим, является ли число 4 решением неравенства $5x - 11 > 3$\. **Подставим **$x = 4$**:** $5 \cdot 4 - 11 > 3$ $20 - 11 > 3$ $9 > 3$ — **верно**, значит, число 4 является решением\. **Подставим **$x = 2$**:** $5 \cdot 2 - 11 > 3$ $10 - 11 > 3$ $-1 > 3$ — **неверно**, значит, число 2 не является решением\. **Определение\.** Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в **верное числовое неравенство**\. Решить неравенство \- значит **найти все его решения** или доказать, что решений нет\. ### Равносильные неравенства > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva). Неравенства, имеющие **одни и те же решения**, называются **равносильными**\. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными\. При решении неравенств используются **свойства равносильности**, которые позволяют упрощать неравенства, не меняя множества их решений\. ### **Свойства равносильных неравенств** **Свойство 1\.** Если из одной части неравенства перенести слагаемое в другую часть с **противоположным знаком**, то получится равносильное неравенство\. **Свойство 2\.** Если обе части неравенства **умножить или разделить** на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство\. **Свойство 3\.** Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же **отрицательное** число, **изменив при этом знак неравенства на противоположный**, то получится равносильное неравенство\. **Пример:** Неравенство $18 + 6x > 0$ равносильно неравенству $6x > -18$ \(перенесли 18 в правую часть с противоположным знаком\)\. Неравенство $6x > -18$ равносильно неравенству $x > -3$ \(разделили обе части на положительное число 6\)\. ### Виды решений и запись ответа на линейное неравенство Решив неравенство, вы получаете множество решений\. Это множество может выглядеть по\-разному в зависимости от типа неравенства\. Существует два основных способа записи ответа, и важно уметь использовать оба\. ** Запись в виде промежутка \(скобки\)** Ответ записывается с помощью **круглых** и **квадратных** скобок\. Круглая скобка \( или \) означает, что число **не входит** в решение \(строгое неравенство\)\. Квадратная скобка \[ или \] означает, что число **входит** в решение \(нестрогое неравенство\)\. **Примеры:** $x > 5 \rightarrow (5; +\infty)$ $x \le -2 \rightarrow (-\infty; -2]$ *Бесконечность *$\infty$* всегда записывается с круглой скобкой\.* #### 1\. Запись ответа с помощью скобок \(числовые промежутки\) Это самый распространённый способ в старших классах и на экзаменах\. Множество решений записывается в виде промежутка\. **Правила использования скобок при записи решения:** **Круглая скобка \( или \)** ставится, когда граница **не принадлежит** множеству решений\. Это соответствует строгим неравенствам: $>$ или $<$\. **Квадратная скобка \[ или \]** ставится, когда граница **принадлежит** множеству решений\. Это соответствует нестрогим неравенствам: $\ge$ или $\le$\. **Бесконечность **$\infty$ всегда записывается с круглой скобкой, так как это не число, а символ, обозначающий неограниченность\. #### **Таблица соответствия:** После преобразования неравенства вы всегда будете получать один из четырех возможных вариантов и ему всегда будут соответствовать один из четырех промежутков, разница будет только в строгом и нестрогом неравенстве\. #### **Неравенство** #### **Промежуток** $x > a$ $(a; +\infty)$ $x \ge a$ $[a; +\infty)$ $x < a$ $(-\infty; a)$ $x \le a$ $(-\infty; a]$ **Важные частные случаи:** **Все числа:** $(-\infty; +\infty)$ \(если неравенство верно при любом $x$\) **Пустое множество:** $\varnothing$ \(решений нет\) #### 2\. Запись ответа на числовой прямой Этот способ нагляден и часто используется для проверки или при решении систем неравенств\. **Алгоритм изображения решения на числовой прямой:** Нанести на прямую все граничные точки \(числа, которые были в ответе\)\. Определить, входят ли эти точки в решение: если неравенство строгое \($>$ или $<$\) — точка **выколотая** \(пустая\)\. если неравенство нестрогое \($\ge$ или $\le$\) — точка **закрашенная** \(заполненная\)\. Заштриховать направление, в котором лежат решения: если $x > a$ или $x \ge a$ — штриховка вправо \(в сторону $+\infty$\)\. если $x < a$ или $x \le a$ — штриховка влево \(в сторону $-\infty$\)\. **💡 Совет:** Всегда проверяйте свой ответ, подставляя любое число из полученного промежутка в исходное неравенство\. Это поможет избежать ошибок со знаком\. ### Строгие и нестрогие неравенства > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva). Все линейные неравенства делятся на два типа: **строгие** и **нестрогие**\. От этого зависит, какой знак используется в записи и какие скобки ставятся в ответе\. **Строгие неравенства** В строгих неравенствах используются знаки $>$ \(«больше»\) и $<$ \(«меньше»\)\. **Особенности:** Граничное число **не входит** в решение В ответе используются **круглые скобки** \( или \) На числовой прямой точка **выколотая** \(пустой кружок\) **Пример:** $x > 5$ — все числа, большие 5, но сама 5 не входит Ответ: $(5; +\infty)$ **Нестрогие неравенства** В нестрогих неравенствах используются знаки $\ge$ \(«больше или равно»\) и $\le$ \(«меньше или равно»\)\. **Особенности:** Граничное число **входит** в решение В ответе используются **квадратные скобки** \[ или \] На числовой прямой точка **закрашенная** \(заполненный кружок\) **Пример:** $x \ge 5$ — все числа, большие или равные 5, сама 5 входит Ответ: $[5; +\infty)$ **⚠️ Важно запомнить:** При умножении или делении обеих частей неравенства на **отрицательное** число знак неравенства меняется на противоположный\. Это правило работает и для строгих, и для нестрогих неравенств\. ## Решение линейных неравенств **Линейным неравенством с одной переменной** называют неравенство вида $ax > b$ или $ax < b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа\. В процессе решения любое линейное неравенство можно привести к такому виду\. Решим неравенство $16x > 13x + 45$\. **Шаг 1\.** Перенесём слагаемое $13x$ с противоположным знаком в левую часть: $16x - 13x > 45$ **Шаг 2\.** Приведём подобные члены: $3x > 45$ **Шаг 3\.** Разделим обе части на $3$ \(число положительное, знак неравенства не меняем\): $x > 15$ **Ответ:** $(15; +\infty)$ или $x > 15$ Решим неравенство $15x - 23(x + 1) > 2x + 11$\. **Шаг 1\.** Раскроем скобки в левой части: $15x - 23x - 23 > 2x + 11$ **Шаг 2\.** Перенесём слагаемые с $x$ в левую часть, числа — в правую: $15x - 23x - 2x > 11 + 23$ **Шаг 3\.** Приведём подобные члены: $-10x > 34$ **Шаг 4\.** Разделим обе части на $-10$ \(число отрицательное, **меняем знак неравенства**\): $x < -3,4$ **Ответ:** $(-\infty; -3,4)$ Решим неравенство $\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2} < 2$\. **Шаг 1\.** Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на $6$: $\dfrac{x}{3} \cdot 6 - \dfrac{x}{2} \cdot 6 < 2 \cdot 6$ **Шаг 2\.** Упростим: $2x - 3x < 12$ $-x < 12$ **Шаг 3\.** Умножим обе части на $-1$ \(меняем знак неравенства\): $x > -12$ **Ответ:** $(-12; +\infty)$ Решим неравенство $2(x + 8) - 5x < 4 - 3x$\. **Шаг 1\.** Раскроем скобки: $2x + 16 - 5x < 4 - 3x$ **Шаг 2\.** Перенесём все члены с $x$ в левую часть, числа — в правую: $2x - 5x + 3x < 4 - 16$ **Шаг 3\.** Приведём подобные члены: $0 \cdot x < -12$ Полученное неравенство $0 < -12$ **не является верным** ни при каком значении $x$\. **Ответ:** решений нет\. ## Типичные ошибки при решении линейных неравенств При решении заданий с **линейными неравенствами** ученики 8 класса часто допускают характерные ошибки\. Разберём их, чтобы избежать на контрольных работах и на ОГЭ по математике\. #### Ошибка 1: Забывают изменить знак неравенства при умножении на отрицательное число **Неправильно** $-4x > 12$ $x > -3$ \(знак не изменили\) **Правильно** $-4x > 12$ $x < -3$ \(знак изменили на <\) #### Ошибка 2: Неправильный перенос слагаемых **Неправильно** $5x - 3 > 2x + 7$ $5x - 2x > 7 + 3$ \(перенесли $-3$ без смены знака\) **Правильно** $5x - 3 > 2x + 7$ $5x - 2x > 7 + 3$ \($-3$ перенесли как $+3$\) ## Советы по решению линейных неравенств > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva). Чтобы успешно решать **линейные неравенства** в 8 классе и на ОГЭ, рекомендуем придерживаться следующего алгоритма: #### **Алгоритм решения линейного неравенства** **Шаг 1\.** Раскрыть скобки, если они есть **Шаг 2\.** Перенести все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки на противоположные **Шаг 3\.** Привести подобные слагаемые в обеих частях неравенства **Шаг 4\.** Разделить обе части неравенства на коэффициент при $x$: \- если коэффициент **положительный** — знак неравенства **не меняется** \- если коэффициент **отрицательный** — знак неравенства **меняется на противоположный** **Шаг 5\.** Записать ответ в виде промежутка или на числовой прямой **Шаг 6\.** Проверить решение, подставив любое число из полученного промежутка в исходное неравенство **💡 Важно запомнить:** При решении линейных неравенств **самая частая ошибка** \- забыть изменить знак неравенства при умножении или делении на отрицательное число\. Всегда проверяйте этот шаг\! ## Тренажёры на линейные неравенства для ОГЭ На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Линейные неравенства с одной переменной»\. Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/lineinye_neravenstva).