> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Общие касательные двух окружностей В этом разделе рассматриваются общие касательные двух окружностей, их определение, виды и ключевые геометрияческие свойства\. Материал содержит условия существования общих касательных в зависимости от взаимного расположения окружностей, теоремы о равенстве отрезков касательных и расчётные формулы\. Разобраны отличия между внешними и внутренними общими касательными\. Приведены примеры решения практических задач, характерных для контрольных работ 8 класса, олимпиад и экзаменационных материалов ОГЭ и ЕГЭ по математике\. Отдельное внимание уделено построению вспомогательных прямоугольных треугольников с помощью проведения радиусов в точки касания и проведения линий, параллельных касательным\. Отработать тему общие касательные двух окружностей можно в конце страницы после теории в тренажёрах с пошаговыми решениями\. ## Теоретический справочник: общие касательные двух окружностей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey). Ниже подробно разбираем все определения, виды, свойства и формулы для общих касательных двух окружностей\. Важно отметить, что в основном задачи на общие касательные встречаются во вторых частях экзаменов или на олимпиадах\.D ### Определение и виды общих касательных Прямая называется **общей касательной двух окружностей**, если она касается каждой из этих окружностей \(имеет с каждой из них ровно по одной общей точке\)\. #### Внешняя и внутренняя общие касательные 🎯 • **Внешняя общая касательная:** прямая, относительно которой обе окружности лежат **по одну сторону**\. • **Внутренняя общая касательная:** прямая, относительно которой окружности лежат **по разные стороны** \(касательная пересекает отрезок линий центров $O_1O_2$\)\.  ### Количество общих касательных в зависимости от расположения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey). Число общих касательных к двум окружностям с радиусами $R_1$ и $R_2$ \($R_1 \ge R_2$\) и расстоянием между центрами $d = O_1O_2$ зависит от их взаимного расположения: ##### Взаимное расположение ##### Условие \($d$ и $R_1, R_2$\) ##### Число внешних / внутренних ##### Всего касательных **Расположены вне друг друга** $d > R_1 + R_2$ 2 внешних \+ 2 внутренних **4** **Внешнее касание** $d = R_1 + R_2$ 2 внешних \+ 1 внутренняя **3** **Пересекаются в двух точках** $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$ 2 внешних \+ 0 внутренних **2** **Внутреннее касание** $d = R_1 - R_2$ 1 внешняя \+ 0 внутренних **1** **Одна внутри другой \(не касаются\)** $d < R_1 - R_2$ 0 внешних \+ 0 внутренних **0** ### Формулы длин отрезков общих касательных Отрезком общей касательной называется отрезок, соединяющий точки касания данной прямой с первой и второй окружностями\. #### Расчётные формулы отрезков касательных: 1\. **Длина отрезка внешней общей касательной \(**$L_{\text{внеш}}$**\):** $$ L_{\text{внеш}} = \sqrt{d^2 - (R_1 - R_2)^2} $$ 2\. **Длина отрезка внутренней общей касательной \(**$L_{\text{внутр}}$**\):** $$ L_{\text{внутр}} = \sqrt{d^2 - (R_1 + R_2)^2} $$ где $d = O_1O_2$ — расстояние между центрами окружностей, $R_1$ и $R_2$ — радиусы этих окружностей \($R_1 \ge R_2$\)\. #### Важно запомнить\! 💡 1\. Длины двух **симметричных внешних касательных** между точками касания равны между собой\. 2\. Длины двух **симметричных внутренних касательных** между точками касания равны между собой\. 3\. Точки касания образуют с радиусами **прямые углы **$90^\circ$ \($O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$\), поэтому решение большинства задач сводится к применению теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике или трапеции $O_1ABO_2$\. ### Пошаговый алгоритм решения задач При решении задач на общие касательные двух окружностей в 8 классе придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey). **Выполните чертёж и проведите радиусы:** соедините центры $O_1$ и $O_2$ и проведите радиусы в точки касания перпендикулярно касательной линии\. **Постройте прямоугольный треугольник:** из центра меньшей окружности опустите перпендикуляр на радиус большей окружности \(для внешней касательной\) или на его продолжение \(для внутренней касательной\)\. **Примените теорему Пифагора:** найдите искомый катет прямоугольного треугольника, который равен длине отрезка касательной, и запишите ответ\. ### Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс Рассмотрите решения характерных задач на общие касательные двух окружностей из школьной программы и экзаменационных материалов\. **Задание:** Радиусы двух окружностей равны $8\text{ см}$ и $3\text{ см}$, а расстояние между их центрами равно $13\text{ см}$\. Найдите длину отрезка общей внешней касательной между точками касания\. **Подробное решение:** 1\) Выпишем известные величины: $R_1 = 8\text{ см}$, $R_2 = 3\text{ см}$, расстояние между центрами $d = O_1O_2 = 13\text{ см}$\. 2\) Применим формулу длины внешней общей касательной: $$L\_\{\\text\{внеш\}\} = \\sqrt\{d^2 \- \(R\_1 \- R\_2\)^2\}$$ 3\) Вычислим разность радиусов: $$R\_1 \- R\_2 = 8 \- 3 = 5\\text\{ см\}$$ 4\) Подставим значения под корень: $$L\_\{\\text\{внеш\}\} = \\sqrt\{13^2 \- 5^2\} = \\sqrt\{169 \- 25\} = \\sqrt\{144\} = 12\\text\{ см\}$$ **Ответ:** $12\text{ см}$\. **Задание:** Две окружности с радиусами $16\text{ см}$ и $9\text{ см}$ касаются внешним образом\. Найдите длину их общей внешней касательной\. **Подробное решение:** 1\) Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами $d$ равно сумме их радиусов: $$d = O\_1O\_2 = R\_1 \+ R\_2 = 16 \+ 9 = 25\\text\{ см\}$$ 2\) Вычислим разность радиусов: $$R\_1 \- R\_2 = 16 \- 9 = 7\\text\{ см\}$$ 3\) Найдем длину внешней касательной по теореме Пифагора: $$L = \\sqrt\{d^2 \- \(R\_1 \- R\_2\)^2\} = \\sqrt\{25^2 \- 7^2\} = \\sqrt\{625 \- 49\} = \\sqrt\{576\} = 24\\text\{ см\}$$ *\(Замечание: Для двух внешне касающихся окружностей действует полезная готовая формула *$L = 2\sqrt{R_1 R_2} = 2\sqrt{16 \cdot 9} = 2 \cdot 12 = 24\text{ см}$*\)\.* **Ответ:** $24\text{ см}$\. ## Тренажёры по теме «Общие касательные двух окружностей» на Экзамео Отработать определение, виды и расчёт длин общих касательных двух окружностей можно после теории в интерактивных тренажёрах на платформе «Экзамео»\. Задания для 8 класса охватывают определение количества касательных, построение вспомогательных прямоугольных треугольников и решение практической геометрии с окружностями\. Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы\. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет пошаговые решения, что помогает своевременно разобрать ошибки\. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/obshchie-kasatelnye-dvuh-okruzhnostey).