> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Основное свойство рациональной дроби \- теория и тренажёры **Основное свойство рациональной дроби** \- это ключевой закон, который лежит в основе всех преобразований дробных выражений в алгебре\. Без этого свойства невозможно сокращать дроби, приводить их к общему знаменателю, складывать, вычитать, умножать и делить рациональные выражения\. На этой странице вы узнаете, в чём заключается основное свойство рациональной дроби, как его применять и какие ошибки чаще всего допускают ученики\. Вы уже знакомы с основным свойством обыкновенных дробей из 5\-6 класса: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то дробь не изменится\. В 8 классе это свойство обобщается на **рациональные дроби**, где вместо чисел могут стоять многочлены\. ### Вспоминаем основное свойство обыкновенных дробей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi). Прежде чем перейти к рациональным дробям, вспомним, как работает основное свойство для обыкновенных дробей\. Рассмотрим его на примере ### **Основное свойство обыкновенной дроби** Если числитель и знаменатель дроби **умножить** или **разделить** на одно и то же **натуральное число**, то значение дроби **не изменится**\. **Пример:** $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12}$ $\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 : 2}{8 : 2} = \dfrac{3}{4}$ Это свойство позволяет: **сокращать** дроби \(делить числитель и знаменатель на общий делитель\) и **приводить** дроби к общему знаменателю \(умножать числитель и знаменатель на дополнительный множитель\)\. ### Основное свойство рациональной дроби > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi). Теперь обобщим это свойство на рациональные дроби, где числитель и знаменатель \- многочлены\. Из\-за того, что у нас и числитель и знаменатель являются многочленами появляются ограничения, которые критически важно учитывать\. ### **Формулировка основного свойства** **Основное свойство рациональной дроби:** $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot C}$, где $C \neq 0$ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A : C}{B : C}$, где $C \neq 0$ где $A$ и $B$ — многочлены \($B \neq 0$\), а $C$ \- **ненулевой многочлен** \. **Важное условие:** При умножении или делении на $C$ нужно следить, чтобы $C \neq 0$\. Если $C$ содержит переменную, то при некоторых её значениях $C$ может обратиться в нуль \- в этих точках преобразование **не является тождественным**\. **📌 Важно запомнить:** Основное свойство дроби \- это **тождественное преобразование**, но только на **области допустимых значений**, где $B \neq 0$ и $C \neq 0$\. ### Применение свойства: сокращение дробей Сокращение дроби \- это деление числителя и знаменателя на их **общий множитель**\. ### **Алгоритм сокращения дроби** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi). **Разложить** числитель и знаменатель на множители \. **Найти** общие множители\. **Разделить** числитель и знаменатель на общие множители \. **Записать** ОДЗ \(значения переменной, при которых сокращение допустимо\) и только потом сокращать #### Примеры сокращения дробей Сократим дробь $\dfrac{6x^3}{8x^2}$\. **Решение:** Числитель и знаменатель имеют общий множитель $2x^2$\. $\dfrac{6x^3}{8x^2} = \dfrac{6x^3 : 2x^2}{8x^2 : 2x^2} = \dfrac{3x}{4}$ **ОДЗ:** $x \neq 0$ **Ответ:** $\dfrac{3x}{4}$, при $x \neq 0$\. Сократим дробь $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$\. **Решение:** Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$ Сокращаем на $(x + 2)$: $= x - 2$ **ОДЗ:** $x \neq -2$ **Ответ:** $x - 2$, при $x \neq -2$\. Сократим дробь $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}$\. **Решение:** Разложим числитель и знаменатель на множители: $x^2 - 2x = x(x - 2)$ $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}$ Сокращаем на $(x - 2)$: $= \dfrac{x}{x + 2}$ **ОДЗ:** $x \neq 2$, $x \neq -2$ **Ответ:** $\dfrac{x}{x + 2}$, при $x \neq \pm2$\. ### Приведение к общему знаменателю Основное свойство дроби также используется для **приведения дробей к общему знаменателю**\. Это то, что вы будете делать чаще всего при решении уравнений с рациональными дробями и текстовых задач на ОГЭ и ЕГЭ по математике\. ### **Алгоритм приведения к общему знаменателю** **Разложить** знаменатели дробей на множители \. **Найти** **общий знаменатель** \- произведение всех различных множителей, взятых в наибольшей степени \. Для каждой дроби **найти дополнительный множитель** \. **Умножить** числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель \. #### Пример приведения к общему знаменателю Приведём дроби $\dfrac{2}{x}$ и $\dfrac{3}{x^2}$ к общему знаменателю\. **Решение:** Знаменатели: $x$ и $x^2$\. Общий знаменатель: $x^2$\. Дополнительный множитель для первой дроби: $\dfrac{x^2}{x} = x$\. Дополнительный множитель для второй дроби: $\dfrac{x^2}{x^2} = 1$\. $\dfrac{2}{x} = \dfrac{2 \cdot x}{x \cdot x} = \dfrac{2x}{x^2}$ $\dfrac{3}{x^2} = \dfrac{3}{x^2}$ **Ответ:** $\dfrac{2x}{x^2}$ и $\dfrac{3}{x^2}$\. ### Типичные ошибки при применении основного свойства > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi). #### Ошибка 1: Сокращение на выражение без учёта ОДЗ **Неправильно** $\dfrac{x^2}{x} = x$ \(без указания $x \neq 0$\) **Правильно** $\dfrac{x^2}{x} = x$, при $x \neq 0$ #### Ошибка 2: Сокращение отдельных слагаемых в числителе или знаменателе **Неправильно** $\dfrac{x + 2}{2} = x$ \(сократили слагаемое в числителе\) **Правильно** $\dfrac{x + 2}{2} = \dfrac{x}{2} + 1$ \(слагаемое $x$ и слагаемое $2$ — не одно и то же\) #### Ошибка 3: Неправильное приведение к общему знаменателю **Неправильно** $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2x}$ \(не нашли общий знаменатель\) **Правильно** $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2x} + \dfrac{x}{2x} = \dfrac{x + 2}{2x}$ **💡 Совет:** При сокращении дроби **всегда** разлагайте числитель и знаменатель на множители\. Сокращать можно **только множители**, а не слагаемые\. И **всегда** записывайте ОДЗ\. ## Тренажёры по основному свойству рациональной дроби На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Основное свойство рациональной дроби»\. Мы собрали тренажёры, в ходе решения которых вам предстоит воспользоваться основным свойством рациональной дроби\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/osnovnoe-svoystvo-ratsionalnoy-drobi).