> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Параллелограмм: свойства, признаки и задачи с решениями На этой странице представлен подробный теоретический и практический справочник по теме **«Параллелограмм» по геометрии для 8 класса**\. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь восьмиклассникам глубоко освоить ключевую тему раздела «Четырёхугольники», научиться уверенно различать свойства и признаки параллелограмма, применять формулы площади и периметра, а также без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ\. Параллелограмм — базовый четырёхугольник школьного курса планиметрии\. Его изучение создаёт основу для понимания всех остальных частных видов четырёхугольников: прямоугольника, ромба и квадрата\. ## Всё про параллелограмм для 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm). Ниже подробно разобраны определение, основные элементы, свойства, признаки и формулы параллелограмма\. ### Определение и элементы параллелограмма #### Определение параллелограмма 🎯 **Параллелограммом** называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны\. • $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$\. • **Высота параллелограмма** — перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную сторону \(или её продолжение\)\. \[ Место для иллюстрации: Чертеж параллелограмма ABCD с противоположными параллельными сторонами, проведенными диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O, и высотами h\_a и h\_b \] ### 2\. Свойства параллелограмма > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm). Если фигура **уже является** параллелограммом, то для нее гарантированно выполняются следующие теоремы и свойства: #### Главные свойства параллелограмма \(8 класс\): 1\. **Равенство противоположных сторон:** Противоположные стороны равны попарно \($AB = CD$, $AD = BC$\)\. 2\. **Равенство противоположных углов:** Противоположные углы равны \($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$\)\. 3\. **Свойство прилежащих углов:** Сумма углов, прилежащих к любой одной стороне, равна $180^\circ$ \($\angle A + \angle B = 180^\circ$\)\. 4\. **Пересечение диагоналей:** Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам \($AO = OC$, $BO = OD$\)\. • **Дополнительные свойства:** Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него **равнобедренный треугольник**\. Биссектрисы соседних углов параллелограмма **взаимно перпендикулярны** \($90^\circ$\)\. ### 3\. Признаки параллелограмма Признаки используются тогда, когда дан произвольный четырёхугольник, и нужно **доказать**, что он является параллелограммом: 1\. **По двум сторонам:** Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны \($AB = CD$ и $AB \parallel CD$\), то это параллелограмм\. 2\. **По противоположным сторонам:** Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны \($AB = CD$ и $AD = BC$\), то это параллелограмм\. 3\. **По диагоналям:** Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм\. #### Не путай свойства и признаки\! 💡 • **Свойство:** МЫ ЗНАЕМ, что фигура — параллелограмм $\implies$ ДЕЛАЕМ ВЫВОД, что стороны и углы равны\. • **Признак:** МЫ ВИДИМ равенство сторон или точку деления диагоналей $\implies$ ДОКАЗЫВАЕМ, что фигура — параллелограмм\. ### 4\. Формулы периметра и площади параллелограмма Для расчёта основных параметров параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ используются следующие формулы: ##### Периметр параллелограмма 📏 Периметр равен удвоенной сумме смежных сторон: $$ P = 2(a + b) $$ ##### Площадь через высоту 📐 Площадь равна произведению стороны на опущенную к ней высоту: $$ S = a \cdot h_a = b \cdot h_b $$ • **Площадь через две стороны и угол между ними:** $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$\. • **Связь диагоналей и сторон:** Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: $$d\_1^2 \+ d\_2^2 = 2\(a^2 \+ b^2\)$$ ### Пошаговый алгоритм решения задач > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm). При решении задач на параллелограмм в 8 классе придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Выделите известные элементы:** определите по условию известные стороны, высоты, углы или диагонали\. **Примените свойства углов или сторон:** найдите смежные углы \($180^\circ - \alpha$\) или приравняйте противоположные стороны\. **Вычислите искомую величину:** подставьте значения в формулу площади \($S = a h$\) или периметра \($P = 2(a+b)$\) и запишите ответ\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 8 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 8 классе\. **Задание:** В параллелограмме $ABCD$ сумма двух углов равна $140^\circ$\. Найдите все углы параллелограмма\. **Подробное решение:** 1\) Сумма двух углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$\. Так как данная сумма $140^\circ \neq 180^\circ$, речь идет о **противоположных углах**\. 2\) По свойству параллелограмма противоположные углы равны: $\angle A = \angle C = 140^\circ : 2 = 70^\circ$\. 3\) Найдем острый и тупой углы при одной стороне, используя их сумму $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$\. 4\) Противоположный угол $\angle D = \angle B = 110^\circ$\. **Ответ:** $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$\. **Задание:** Стороны параллелограмма равны $8\text{ см}$ и $12\text{ см}$, а один из его углов равен $30^\circ$\. Найдите площадь параллелограмма\. **Подробное решение:** 1\) Проведем высоту $h$ к стороне $b = 12\text{ см}$ из вершины тупого угла\. 2\) В образованном прямоугольном треугольнике катет $h$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому он равен половине гипотенузы \(соседней стороны $a = 8\text{ см}$\): $h = 8 : 2 = 4\text{ см}$\. 3\) Вычислим площадь параллелограмма: $S = b \cdot h = 12 \cdot 4 = 48\text{ см}^2$\. *\(Альтернативный вариант через синус: *$S = a \cdot b \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 12 \cdot 0{,}5 = 48\text{ см}^2$*\)\.* **Ответ:** $48\text{ см}^2$\. ## Тренажёры по теме «Параллелограмм» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm). Закрепите свойства, признаки и формулы площади параллелограмма на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные карточки и проверочные тесты по теме **«Параллелограмм» за 8 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии \(учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка\)\. В базе платформы представлены сотни геометрических задач разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по геометрии за 8 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и уверенно получайте отличные оценки за самостоятельные и контрольные работы\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/parallelogramm).