> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Первый признак подобия треугольников На данной странице мы подробно разберем **первый признак подобия треугольников и его доказательство **один из трёх основных признаков, которые изучаются в **геометрии 8 класса**\. Этот признак является самым популярным и часто используется при решении задач по геометрии в 8 классе и на ОГЭ по математике, так как для его применения достаточно знать всего **два угла** треугольника\. **Первый признак подобия треугольников — это ключ к пониманию всей темы подобия**\. Если вы поймете, как доказывается этот признак и почему он работает, вам будет легко разобраться с двумя другими признаками и применять их в задачах любой сложности\. ## Первый признак подобия треугольников > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov). ### Теорема про первый признак подобия ### **Формулировка теоремы** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны\. Условия теоремы $\angle A = \angle A_1$ $\angle B = \angle B_1$  Следовательно $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ ### Доказательство первого признака подобия Рассмотрим** доказательство первого признака подобия**, которое разбирается в 8 классе и опирается на теорему о сумме углов треугольника и отношение площадей треугольников\. #### **Дано** Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — два треугольника, у которых $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$ \(как показано на рисунке\)\. #### **Доказать** $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ #### **Доказательство** **Шаг 1\. Равенство третьих углов** По **теореме о сумме углов треугольника** сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$\. Значит: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\angle C = \angle C_1$\. Таким образом, все три угла треугольника $ABC$ соответственно равны трём углам треугольника $A_1B_1C_1$\. #### **Шаг 2\. Пропорциональность сторон** Теперь докажем, что **стороны треугольника **$ABC$** пропорциональны сходственным сторонам треугольника **$A_1B_1C_1$\. Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$, то отношение площадей треугольников можно записать двумя способами: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$ \(это следует из формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними\)\. Из этих равенств следует, что: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}$ Аналогично, используя равенства $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, получаем: $\dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$ Следовательно: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$ **Итак, стороны треугольника **$ABC$** пропорциональны сходственным сторонам треугольника **$A_1B_1C_1$\. #### **Вывод** Так как **углы соответственно равны** и **стороны пропорциональны**, то по определению подобных треугольников: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ Теорема **доказана**\. Сумма углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$\. Поэтому если известны **два угла** одного треугольника и **два соответствующих угла** другого треугольника равны им, то **третий угол автоматически тоже будет равен**\. **Пример:** В треугольнике $ABC$: $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, значит $\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ В треугольнике $A_1B_1C_1$: $\angle A_1 = 50^\circ$, $\angle B_1 = 60^\circ$, значит $\angle C_1 = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ Таким образом, достаточно проверить равенство всего **двух углов**, чтобы утверждать подобие треугольников\. Третий угол «подтягивается» автоматически\. Это делает **первый признак подобия** самым удобным для применения в задачах, так как найти два равных угла часто гораздо проще, чем проверять пропорциональность сторон\. ### Примеры применения первого признака подобия #### Пример 1: Равнобедренные треугольники Два равнобедренных треугольника имеют угол при вершине $40^\circ$\. Углы при основании в каждом треугольнике равны $\dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$\. Значит, $\angle A = \angle A_1 = 40^\circ$ и $\angle B = \angle B_1 = 70^\circ$\. По **первому признаку** такие треугольники подобны\. #### Пример 2: Треугольники с параллельными прямыми В треугольнике $ABC$ проведена прямая $MN \parallel AC$\. Тогда $\angle BMN = \angle BAC$ \(соответственные углы при параллельных прямых и секущей $AB$\) и $\angle BNM = \angle BCA$ \(соответственные углы при параллельных прямых и секущей $BC$\)\. Значит, $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ **по первому признаку** \(по двум углам\)\. ** Важное замечание:** Первый признак — самый «простой»\. Для его применения нужно знать всего **два угла**\. Поэтому в геометрических задачах он используется чаще всего\. Если вы видите в задаче **параллельные прямые**, **общую вершину** или **равные углы** — скорее всего, нужно применять именно **первый признак подобия**\. ## Тренажёры на первый признак подобия треугольников для 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov). Ниже доступны тренажёры на первый признак подобия для 8 класса с подробными решениями, которые помогут отработать теорию на этой странице и будут полезны для подготовки к контрольным работам в 8 классе и к ОГЭ по математике\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov).