> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Площадь многоугольника \(8 класс\) В этом разделе подробно рассматривается **площадь многоугольника**, её фундаментальные свойства и методы вычисления для различных видов плоских фигур\. Материал содержит базовые аксиомы площадей, связь между такими понятиями, как **периметр и площадь многоугольника**, а также ключевые теоремы, изучаемые в 8 классе\. Особое внимание уделено универсальным соотношениям, с помощью которых вычисляется **площадь описанного многоугольника** через радиус вписанной окружности и **площадь вписанного многоугольника** через радиус описанной окружности\. Приведены примеры решения практических задач, характерных для контрольных работ за 8 класс, самостоятельных заданий и материалов ОГЭ по математике\. Разобрано применение универсальных формул для правильных и произвольных многоугольников, описанных около окружности или вписанных в окружность\. ## Теоретический справочник: площадь многоугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika). Ниже подробно разбираем все свойства, теоремы и основные формулы, позволяющие найти площадь любого плоского многоугольника в школьном курсе геометрии\. Основы закладываются в 8 классе, но использовать эти формулы вы будете вплоть до выпуска из школы, поэтому очень советуем разобраться в них подробно и затем отработать все свойства и теоремы в тренажерах\. ### Основные свойства площади многоугольника Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает данный многоугольник\. Для площадей любых многоугольников справедливо выполнение трёх ключевых свойств \(аксиом\): #### Аксиомы площади: 1\. **Положительность:** Площадь каждого многоугольника выражается положительным числом \($S > 0$\)\. 2\. **Равновеликость равных фигур:** Равные многоугольники имеют равные площади $$ F_1=F_2\implies S_1=S_2 $$ 3\. **Аддитивность:** Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников без общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников: $$ S = S_1 + S_2 + \dots + S_n $$ За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единице измерения отрезков \(например, $1\text{ см}^2$, $1\text{ м}^2$\)\. ### Площадь описанного многоугольника \(около окружности\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika). Многоугольник называется описанным около окружности \(а окружность — вписанной\), если все его стороны касаются этой окружности\. Важнейшая теорема 8 класса связывает **периметр и площадь многоугольника**, описанного вокруг окружности радиуса $r$\. #### Формула площади описанного многоугольника **Площадь описанного многоугольника** равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: $$ S = p \cdot r = \dfrac{P}{2} \cdot r $$ где $P$ — периметр многоугольника, $p = \dfrac{P}{2}$ — его полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности\.  Соединим центр вписанной окружности $O$ со всеми вершинами $n$\-угольника $A_1A_2\dots A_n$\. Многоугольник разобьётся на $n$ треугольников $\triangle OA_1A_2, \triangle OA_2A_3, \dots, \triangle OA_nA_1$\. • В каждом таком треугольнике высотой, опущенной на сторону многоугольника $a_i$, является радиус окружности $r$ \(так как радиус перпендикулярен касательной\)\.  • Сумма площадей всех треугольников: $$ S = \dfrac{1}{2} a_1 r + \dfrac{1}{2} a_2 r + \dots + \dfrac{1}{2} a_n r = \dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{2} \cdot r = p \cdot r $$ Так как эта формула выводится для общего вида многоугольника она работает для всех фигур, в которые можно вписать в окружность и очень часто используется во второй части ОГЭ и ЕГЭ по математике, особенно в тех случаях, когда вас просят найти радиус вписанной окружности, поскольку этот радиус фигурирует в очень ограниченном числе формул\. ### Площадь вписанного многоугольника \(в окружность\) Многоугольник называется вписанным в окружность \(а окружность — описанной\), если все его вершины лежат на этой окружности\.  Расчёт **площади вписанного многоугольника** зависит от его вида, давайте разберем формулы для всех многоугольников: #### **Площадь вписанного треугольника:** Вычисляется по формуле через радиус описанной окружности $R$ и три его стороны $a, b, c$: $$ S = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} $$ Подробно разбираем тему Вписанная и описанная окружности треугольника #### **Площадь вписанного четырёхугольника \(Формула Брахмагупты\):** Если четырёхугольник со сторонами $a, b, c, d$ вписан в окружность, его площадь находится через полупериметр $p = \dfrac{a + b + c + d}{2}$: $$ S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} $$ Подробно рассматриваем [Вписанная и описанная окружности четырёхугольников](/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov) #### **Площадь правильного вписанного **$n$**\-угольника:** Если соединить центр описанной окружности $O$ со всеми $n$ вершинами, фигура разбивается на $n$ равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами $R$ и углом при вершине $\alpha = \dfrac{360^\circ}{n}$\. Сумма их площадей дает общую формулу: $$ S = \dfrac{1}{2} n \cdot R^2 \cdot \sin\left(\dfrac{360^\circ}{n}\right) $$ #### Запомни для решения задач\! • **Описанный многоугольник:** площадь находится через радиус **вписанной** окружности $r$ и периметр: $S = p \cdot r$\. • **Вписанный многоугольник:** площадь находится разбиением на треугольники с вершиной в центре **описанной** окружности $R$\. ### Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс Рассмотрите решения характерных задач на площадь многоугольников из школьной программы и экзаменационных вариантов ОГЭ\. **Задание:** Периметр многоугольника, описанного около окружности, равен $36\text{ см}$, а радиус вписанной окружности равен $4\text{ см}$\. Найдите **площадь описанного многоугольника**\. **Подробное решение:** 1\) Вычислим полупериметр $p$ многоугольника по его периметру $P = 36\text{ см}$: $$ p = \dfrac{P}{2} = \dfrac{36}{2} = 18\text{ см} $$ 2\) Воспользуемся формулой площади описанного многоугольника $S = p \cdot r$: $$ S = 18 \cdot 4 = 72\text{ см}^2 $$ **Ответ:** $72\text{ см}^2$\. **Задание:** Найдите **площадь вписанного многоугольника**, если он является правильным шестиугольником, а радиус описанной окружности равен $6\text{ см}$\. **Подробное решение:** 1\) Для правильного вписанного $n$\-угольника при $n = 6$ угол центрального треугольника равен: $$ \alpha = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ $$ 2\) Применим формулу площади правильного вписанного шестиугольника: $$ S = \dfrac{1}{2} n \cdot R^2 \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ 3\) Вычислим значение: $$ S = 3 \cdot 36 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\text{ см}^2 $$ **Ответ:** $54\sqrt{3}\text{ см}^2$\. ## Тренажёры по теме «Площадь многоугольника» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika). Отработать тему площадь многоугольника можно после теории в интерактивных тренажёрах на платформе «Экзамео»\. Задания для 8 класса охватывают применение основных аксиом площадей, расчет площадей описанных и вписанных многоугольников, взаимосвязь периметра и радиусов окружностей и решение геометрии из материалов ОГЭ\. Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы\. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет подробные решения, что помогает своевременно разобрать ошибки\. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_mnogougolnika).