> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_parallelogramma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_parallelogramma). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Площадь параллелограмма: все формулы и задачи с решениями На этой странице представлен справочный материал по теме **«Площадь параллелограмма» по геометрии для 8 класса**, чтобы помочь систематизировать все известные формулы нахождения площади параллелограмма, научиться безошибочно выбирать самый быстрый способ вычисления в зависимости от данных задачи и уверенно справляться с самостоятельными и контрольными работами в 8 класс и с задачами на ОГЭ по математике\. Вычисление площади параллелограмма — базовый навык школьного курса планиметрии\. Разнообразие формул позволяет рассчитывать площадь фигуры через высоты, стороны, углы и диагонали\. ## Все формулы площади параллелограмма > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_parallelogramma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_parallelogramma). Рассмотрим все основные математические формулы нахождения площади параллелограмма по порядку от базовых школьных до продвинутых\. ### Площадь параллелограмма через сторону и высоту \(классическая формула\) Самый распространенный и главный способ вычисления площади параллелограмма в 8 классе: #### Формула площади через высоту 🎯 **Площадь параллелограмма** равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне: $$ S = a \cdot h_a \quad \text{или} \quad S = b \cdot h_b $$ где $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, $h_a$ и $h_b$ — высоты, опущенные строго на соответствующую сторону\.  Задачи, в которых нужно по известной площади найти меньшую или большую высоту параллелограмма встречаются как в 8 классе на уроках геометрии, так и на ОГЭ по математике, например в 17 задании\. #### Важное свойство высот и сторон: Так как площадь одного и того же параллелограмма постоянна \($S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$\), из этого вытекает равенство отношений: $$ \dfrac{h_a}{h_b} = \dfrac{b}{a} $$ Запомните: **к большей стороне всегда проводится меньшая высота**, а **к меньшей стороне — большая высота**\! #### Площадь через две стороны и синус угла между ними Когда в условии известны две смежные стороны и один из углов параллелограмма, применяется тригонометрическая формула: #### Формула площади через угол 🎯 Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: $$ S = a \cdot b \cdot \sin \alpha $$ где $a$ и $b$ — смежные стороны, $\alpha$ — угол между ними\.  *\(Так как *$\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$*, не имеет значения, какой угол брать — острый или тупой, значение синуса одинаково\!\)* #### Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними Если в условии даны длины пересекающихся диагоналей параллелограмма: #### Формула площади через диагонали: Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: $$ S = \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \gamma $$ где $d_1$ и $d_2$ — диагонали параллелограмма, $\gamma$ — угол между диагоналями\.  #### Как моментально выбрать нужную формулу? 💡 • Даны **сторона и опущенная высота** $\implies S = a \cdot h_a$ • Даны **две стороны и угол** $\implies S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$ • Даны **две диагонали и угол между ними** $\implies S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \gamma$ • Если нужно найти **вторую высоту** $\implies h_b = \dfrac{S}{b}$ #### Разбор задач на параллелограмм из контрольных работ за 8 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии на параллелограмм в 8 классе\. **Задание:** Стороны параллелограмма равны $6\text{ см}$ и $10\text{ см}$, а высота, опущенная на меньшую сторону, равна $5\text{ см}$\. Найдите площадь параллелограмма и вторую высоту\. **Подробное решение:** 1\) Вычислим площадь параллелограмма через сторону $a = 6\text{ см}$ и опущенную на неё высоту $h_a = 5\text{ см}$: $S = a \cdot h_a = 6 \cdot 5 = 30\text{ см}^2$\. 2\) Используем эту же площадь для нахождения второй высоты $h_b$, опущенной на сторону $b = 10\text{ см}$: $S = b \cdot h_b \implies 30 = 10 \cdot h_b \implies h_b = 30 : 10 = 3\text{ см}$\. **Ответ:** $S = 30\text{ см}^2$, вторая высота равна $3\text{ см}$\. **Задание:** Диагонали параллелограмма равны $12\text{ см}$ и $16\text{ см}$, а угол между ними равен $30^\circ$\. Найдите площадь этого параллелограмма\. **Подробное решение:** 1\) Воспользуемся формулой площади через диагонали: $S = \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \gamma$\. 2\) Подставим известные значения: $d_1 = 12$, $d_2 = 16$, $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 16 \cdot \dfrac{1}{2} = 96 \cdot \dfrac{1}{2} = 48\text{ см}^2$\. **Ответ:** $48\text{ см}^2$\. ## Тренажёры по теме «Площадь параллелограмма» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_parallelogramma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_parallelogramma). Ниже собраны тренажёры для 8 класса по теме площадь параллелограмма\. К каждой задаче вы найдете подробное решение и пошаговое объяснение призванное помочь разобраться в теме и отработать формулы площади\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_parallelogramma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploschad_parallelogramma).