> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Площадь треугольника \- все формулы и задачи с решениями На этой странице представлен подробный разбор темы геометрии **«Площадь треугольника: основные формулы» по геометрии для 8 класса**\. Рассматриваются абсолютно все формулы, чтобы найти площадь треугольника\. Нахождение площади треугольника — базовый навык геометрии\. Разнообразие формул позволяет рассчитать площадь через стороны, высоты, углы и радиусы связанных окружностей\. ## Теоретический справочник \- все формулы площади треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika). Рассмотрим классические математические формулы нахождения площади треугольника по порядку от самых простых к продвинутым\. Каждая из них используется в своем отдельном случае, поэтому рекомендуем запомнить их все, чтобы не усложнять решение геометрических задач в 8 классе ### Площадь через сторону и высоту \(классическая формула\) Самый известный и базовый способ нахождения площади любого треугольника \- через высоту: #### Формула площади через высоту **Площадь треугольника** равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне: $$ S = \dfrac{1}{2} a \cdot h_a $$ где $a$ — сторона треугольника, $h_a$ — высота, опущенная строго на сторону $a$\.  В случае с данным рисунком, сторона $a = AC$, высота $h_{a}=BH_{}$ и тогда формула для площади треугольника на рисунке будет выглядеть следующим образом: $$ S=\frac{AC\cdot BH}{2} $$ **Частные случаи этой формулы:** • **Прямоугольный треугольник:** так как катеты $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны, один катет является высотой для другого\. Площадь равна половина произведения катетов: $S = \dfrac{1}{2} a \cdot b$\. • **Равносторонний треугольник:** выразив высоту через сторону $a$, получаем формулу: $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$\. ### Площадь через радиусы окружностей \($r$ и $R$\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika). Если треугольник связан с вписанной или описанной окружностью, используют удобные формулы через радиусы: ##### Через радиус вписанной окружности \($r$\) ⭕ $$ S = p \cdot r $$ Где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности\. ##### Через радиус описанной окружности \($R$\) 🔴 $$ S = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} $$ Где $a, b, c$ — длины сторон, а $R$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности\. \[ Место для иллюстрации: Вписанная окружность радиуса r и описанная окружность радиуса R вокруг треугольника \] ### Площадь через две стороны и синус угла между ними Когда в условии известны две стороны и угол между ними, применяется тригонометрическая формула: #### Формула через синус угла: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: $$ S = \dfrac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \gamma $$ где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол, расположенный между ними\. ### Площадь по трём сторонам \(Формула Герона\) Если известны длины всех трёх сторон $a, b, c$, но неизвестны углы и высоты, площадь вычисляют по универсальной формуле Герона: **Формула:** $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр\. Подробный разбор, вывод и примерами решений смотрите на отдельной странице: [Формула Герона](/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/formula-gerona) #### Как выбрать нужную формулу? 💡 • Даны **сторона и высота** $\implies S = \dfrac{1}{2} a h$ • Даны **две стороны и угол** $\implies S = \dfrac{1}{2} a b \sin \gamma$ • Даны **все три стороны** $\implies$ Формула Герона или $S = p \cdot r$ • Даны **три стороны и радиус описанной окружности** $\implies S = \dfrac{abc}{4R}$ ### Пошаговый алгоритм решения задач на площадь треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika). При решении задач на площадь треугольника в 8 классе придерживайтесь алгоритма, он поможет начать их решать быстро и без ошибок\. ### Порядок действий: **Проанализируйте дано:** выпишите известнее элементы \(стороны, высоты, углы, радиусы\)\. **Выберите подходящую формулу:** подберите формулу площади, содержащую наибольшее количество известных из условия величин\. **Подставьте числа и вычислите:** произведите вычисления и запишите полученный результат в квадратных единицах\. ## Тренажёры по теме «Площадь треугольника» на Экзамео Закрепите все формулы площади треугольника на практике с помощью тренажёров на платформе **Экзамео**\. Все задачи на **«Площадь треугольника» для 8 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\. Для каждого задания вы найдете подробное пошаговое решение и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ploshchad-treugolnika).