> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Преобразования выражений с квадратными корнями \- разбор теиы В 8 классе алгебры одной из важнейших тем является **преобразование выражений, содержащих квадратные корни**\. Этот навык активно проверяется на ОГЭ по математике и необходим для успешного освоения дальнейших разделов\. Преобразования позволяют упрощать сложные выражения, избавляться от иррациональности в знаменателе и приводить ответы к стандартному виду\. **Преобразование выражений с корнями — это умение применять свойства квадратных корней** в различных комбинациях\. В типовых заданиях требуется **упростить выражение**: выполнить все возможные действия, вынести множитель из\-под знака корня, привести подобные слагаемые, сократить дробь или избавиться от корня в знаменателе\. ## Что значит преобразовать выражение с корнями > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni). Прежде чем приступить к выполнению преобразований, важно понимать, что **выражение с квадратным корнем** — это любое выражение, в котором присутствует знак радикала $\sqrt{}$\. Цель преобразования — **привести выражение к более простому или стандартному виду**, используя свойства арифметического квадратного корня\. ### **Основная цель преобразований** При работе с выражениями, содержащими квадратные корни, мы стремимся к тому, чтобы: **1\. Подкоренное выражение не содержало квадратов чисел \(кроме 1\)** Например: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ — мы вынесли множитель 5 из\-под корня **2\. В знаменателе дроби не было корней** Например: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — мы избавились от иррациональности **3\. Все подобные слагаемые были приведены** Например: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ **4\. Подкоренные выражения были максимально упрощены** Например: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ ## Основные виды преобразований с корнями > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni). Существует несколько **типовых преобразований**, которые необходимо освоить в 8 классе\. Каждый из них основан на свойствах квадратного корня и требует внимательности при выполнении\. ### Вынесение множителя из\-под знака корня Это одно из самых частых преобразований\. Суть его заключается в том, чтобы представить подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является **полным квадратом**\. Затем этот множитель выносится за знак корня\. Алгоритм вынесения множителя **Шаг 1\.** Разложи подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом\. **Шаг 2\.** Примени свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$\. **Шаг 3\.** Извлеки корень из полного квадрата и запиши его перед знаком корня\. **Пример 1 \(с числовым выражением\):** Упростим $\sqrt{48}$\. Разложим 48 на множители: $48 = 16 \cdot 3$\. Число 16 — это $4^2$, полный квадрат\. $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ **Пример 2 \(с буквенным выражением\):** Упростим $\sqrt{50x^2}$, где $x \geq 0$\. $50x^2 = 25 \cdot 2 \cdot x^2 = 25x^2 \cdot 2$ $\sqrt{50x^2} = \sqrt{25x^2 \cdot 2} = \sqrt{25x^2} \cdot \sqrt{2} = 5x\sqrt{2}$ **Пример 3 \(более сложный\):** Упростим $\sqrt{72a^3}$, где $a \geq 0$\. $72a^3 = 36 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a = 36a^2 \cdot 2a$ $\sqrt{72a^3} = \sqrt{36a^2 \cdot 2a} = \sqrt{36a^2} \cdot \sqrt{2a} = 6a\sqrt{2a}$ ### Внесение множителя под знак корня Это преобразование является **обратным** вынесению множителя\. Оно часто используется при сравнении корней, упрощении дробей или при выполнении других преобразований\. Чтобы внести множитель под знак корня, его необходимо **возвести в квадрат** и умножить на подкоренное выражение\. Алгоритм внесения множителя **Правило:** Чтобы внести положительный множитель $a$ под знак корня, нужно записать его как $\sqrt{a^2}$ и перемножить с подкоренным выражением\. $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ **Пример 1 \(числовой\):** Внесём множитель под знак корня в выражении $3\sqrt{5}$\. $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ **Пример 2 \(буквенный\):** Внесём множитель под знак корня: $x\sqrt{2}$, где $x \geq 0$\. $x\sqrt{2} = \sqrt{x^2 \cdot 2} = \sqrt{2x^2}$ **Пример 3 \(сравнение корней\):** Сравним $3\sqrt{7}$ и $2\sqrt{15}$\. Внесём множители под знак корня: $3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$ $2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60}$ Так как $63 > 60$, то $3\sqrt{7} > 2\sqrt{15}$\. **Важное замечание:** При внесении множителя под знак корня **обязательно учитывайте знак множителя**\. Если множитель отрицательный, то перед внесением его нужно записать со знаком минус: $-a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 \cdot b}$ Например: $-3\sqrt{5} = -\sqrt{45}$ ### Приведение подобных слагаемых > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni). Как и в обычной алгебре, в выражениях с корнями можно **складывать и вычитать** только **подобные слагаемые**\. Подобными называются слагаемые, у которых **одинаковые подкоренные выражения**\. Коэффициенты при них складываются или вычитаются как обычные числа\. Правило приведения подобных $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}$ $a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a - b)\sqrt{c}$ **Важно:** Складывать можно только выражения с **одинаковыми подкоренными**\! **Пример 1 \(простейший\):** $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3 + 5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ **Пример 2 \(с вычитанием\):** $7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (7 - 2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ **Пример 3 \(с предварительным упрощением\):** Упростим $2\sqrt{8} + 3\sqrt{18} - \sqrt{32}$\. Сначала вынесем множители из\-под знака корня: $2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ $3\sqrt{18} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$ $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ Теперь приведём подобные: $4\sqrt{2} + 9\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (4 + 9 - 4)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$ ### Умножение и деление выражений с корнями При умножении и делении выражений, содержащих квадратные корни, используются свойства $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$\. Важно помнить, что эти свойства работают **только для неотрицательных** подкоренных выражений\. Умножение и деление $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ **Пример 1 \(умножение одинаковых корней\):** $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3$ **Пример 2 \(умножение разных корней\):** $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ **Пример 3 \(умножение с коэффициентами\):** $2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = (2 \cdot 5) \cdot \sqrt{3 \cdot 2} = 10\sqrt{6}$ **Пример 4 \(деление\):** $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$ **Пример 5 \(деление с коэффициентами\):** $\dfrac{6\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = \dfrac{6}{3} \cdot \sqrt{\dfrac{15}{5}} = 2\sqrt{3}$ ### Освобождение от иррациональности в знаменателе **Освобождение от иррациональности в знаменателе** \- это преобразование, которое часто требуется при оформлении ответа\. Считается, что **в знаменателе дроби не должно быть корней**\. Существует два основных случая\. #### Случай 1: в знаменателе один корень Если в знаменателе стоит выражение вида $\sqrt{a}$, то достаточно **умножить числитель и знаменатель** на этот же корень $\sqrt{a}$\. Освобождение от иррациональности $\dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a}$ **Пример 1:** $\dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ **Пример 2:** $\dfrac{5}{\sqrt{5}} = \dfrac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$ **Пример 3 \(с коэффициентом в знаменателе\):** $\dfrac{2}{3\sqrt{2}} = \dfrac{2 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$ #### Случай 2: в знаменателе выражение вида $a + \sqrt{b}$ или $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ В этом случае используется **сопряжённое выражение**\. Сопряжённым для $a + \sqrt{b}$ является $a - \sqrt{b}$, а для $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ — $\sqrt{a} - \sqrt{b}$\. При умножении двух сопряжённых выражений получается **разность квадратов**, что позволяет избавиться от корней\. Освобождение от иррациональности \(двучлен\) $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$ $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$ **Пример 1 \(с числом и корнем\):** $\dfrac{2}{1 + \sqrt{3}}$ Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое $1 - \sqrt{3}$: $\dfrac{2}{1 + \sqrt{3}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \dfrac{2(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \dfrac{2 - 2\sqrt{3}}{1 - 3} = \dfrac{2 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 1$ **Пример 2 \(с суммой корней\):** $\dfrac{4}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ Умножим на сопряжённое $\sqrt{5} - \sqrt{2}$: $\dfrac{4(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{4(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = \dfrac{4(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$ ### Комбинированные преобразования выражений с корнями > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni). В реальных заданиях часто приходится **применять несколько преобразований одновременно**\. Рассмотрим сложные примеры, которые требуют использования целого комплекса приёмов\. ### **Пример 1 \(упрощение суммы с вынесением множителя\)** Упростим выражение: $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ **Решение:** Вынесем множители из\-под знака корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ Теперь приведём подобные: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (2 + 3 - 4)\sqrt{3} = \sqrt{3}$ **Ответ:** $\sqrt{3}$ ### **Пример 2 \(умножение с упрощением\)** Упростим выражение: $(2\sqrt{3} - 1)(\sqrt{12} + 3)$ **Решение:** Сначала упростим $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$\. Подставим: $(2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 3)$ Раскроем скобки: $= 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 3 - 1 \cdot 2\sqrt{3} - 1 \cdot 3$ $= 4 \cdot 3 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3$ $= 12 + 4\sqrt{3} - 3 = 9 + 4\sqrt{3}$ **Ответ:** $9 + 4\sqrt{3}$ ### **Пример 3 \(деление и освобождение от иррациональности\)** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni). Упростим выражение: $\dfrac{\sqrt{18} + \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ **Решение 1 \(свойство деления\):** $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} + \sqrt{\dfrac{8}{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$ **Решение 2 \(с вынесением множителя\):** $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \quad \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ $\dfrac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$ **Ответ:** $5$ #### Типичные ошибки в преобразованиях с арифметическими корнями При выполнении преобразований выражений с корнями ученики 8 класса часто допускают **одни и те же ошибки**\. Разберём их, чтобы избежать на контрольных работах и на ОГЭ\. #### Ошибка 1: Сложение корней с разными подкоренными выражениями **Неправильно** $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ **Правильно** $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ — складывать нельзя, это уже упрощённый вид #### Ошибка 2: Неправильное вынесение множителя **Неправильно** $\sqrt{32} = 8\sqrt{2}$ **Правильно** $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ #### Ошибка 3: Сокращение дроби с корнем в знаменателе **Неправильно** $\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ **Правильно** $\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ #### Ошибка 4: Забывают про модуль при $\sqrt{a^2}$ **Неправильно** $\sqrt{(-5)^2} = -5$ **Правильно** $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$ ##### Общий алгоритм преобразования выражений с корнями Чтобы успешно выполнять **преобразования выражений с квадратными корнями**, рекомендуется придерживаться следующего алгоритма: ### **Алгоритм действий** **Шаг 1\.** Внимательно посмотри на выражение\. Определи, какие преобразования нужно выполнить\. **Шаг 2\.** Вынеси множители из\-под знака корня, если это возможно\. **Шаг 3\.** Приведи подобные слагаемые\. **Шаг 4\.** Выполни умножение или деление корней по свойствам\. **Шаг 5\.** Если в знаменателе есть корень — освободись от иррациональности\. **Шаг 6\.** Проверь, можно ли ещё упростить выражение\. **💡 Важно помнить:** При преобразованиях с корнями **все свойства работают только для неотрицательных подкоренных выражений**\. Если вы работаете с переменными, всегда проверяйте область допустимых значений\. ## Тренажёры на преобразования выражений с корнями На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Преобразования выражений, содержащих квадратные корни»\. Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике, где задания на преобразование выражений с корнями встречаются в первой части экзамена\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/preobrazovaniya-vyrazheniy-soderzhashchih-kvadratnye-korni).