> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Пропорциональные отрезки \- теория и задачи с тренажерами В этом разделе подробно рассматривается фундаментальная тема **«пропорциональные отрезки» по геометрии за 8 класс**\. В школьном курсе планиметрии понятие пропорциональности отрезков объединяет сразу несколько ключевых геометрических конструкции: пересечение сторон угла параллельными прямыми, деление стороны биссектрисой и опускание высоты на гипотенузу\. Изучение этой темы создает прямую логическую связь между свойствами плоских фигур и подготавливает базу для освоения теории подобия треугольников\. Здесь вы найдете разбор всех теорем, в которых фигурируют **пропорциональные отрезки треугольника** и других фигур: **теорема Фалеса о пропорциональных отрезках**, свойство, по которому **биссектриса делит стороны на пропорциональные отрезки**, а также метрические формулы, определяющие **пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике**\. Отработать тему пропорциональные отрезки 8 класс можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями\. ## Теоретический справочник: пропорциональные отрезки > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki). Ниже приведены определения, теоремы и формулы, показывающие, как именно проявляются пропорциональные отрезки в различных разделах геометрии 8 класса\. ### Определение и понятие пропорциональности Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения\. #### Определение пропорциональных отрезков 🎯 Отрезки $AB$ и $CD$ называются **пропорциональными отрезкам** $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если равно отношение их длин: $$ \dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{CD}{C_1D_1} $$ Это понятие применяется, когда необходимо сравнить пропорции нескольких элементов фигуры или найти неизвестные длины сторон\. ### Теорема Фалеса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki). Первым важнейшим случаем возникновения пропорциональности в геометрии является пересечение секущих прямых параллельными линиями\. Теорема Фалеса это важнейшая теорема о пропорциональных отрезках, она применяется в каждой третьей задаче на подобие и с завидной регулярностью встречается в 8 классе и на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ\. #### Теорема о пропорциональных отрезках \(Фалеса\): 1\. **Теорема Фалеса:** Это **исходная, «равная»** формулировка, которую приписывают самому Фалесу Милетскому\. Если на одной из двух прямых отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой прямой также отложатся равные отрезки\.  2\. **Обобщенная теорема о пропорциональных отрезках:** Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них **пропорциональные отрезки**: $$ \dfrac{OA}{AB} = \dfrac{OA_1}{A_1B_1} $$  Иными словами параллельные прямые переносят соотношение с одной стороны угла на другую сторону угла Благодаря **теореме Фалеса о пропорциональных отрезках** становится возможным деление любого отрезка на заданное число равных или пропорциональных частей с помощью циркуля и линейки\. ##### Интересное про теорему Фалеса В **России** и странах постсоветского пространства «Теоремой Фалеса» чаще называют **классический вариант** \(про равные отрезки\), а обобщённый — «теоремой о пропорциональных отрезках»\. В **зарубежных** учебниках \(англоязычных, европейских\) под «Теоремой Фалеса» \(Intercept theorem\) понимают как раз **обобщённый вариант**, а классический вариант \(с равными отрезками\) часто упоминается как её частный случай\. Иногда там же «Теоремой Фалеса» называют другое утверждение: *вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой*\. ### Биссектриса треугольника и пропорциональные отрезки Второй случай возникновения пропорциональности связан с внутренними линиями треугольника\. В геометрии 8 класса доказывается фундаментальное свойство: **биссектриса делит стороны на пропорциональные отрезки**\. #### Свойство биссектрисы 🎯 **Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на пропорциональные отрезки**, отношение которых равно отношению прилежащих сторон треугольника: $$ \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC} $$ где $BD$ — биссектриса угла $\angle B$, а точка $D$ лежит на стороне $AC$\. Эта теорема связывает **биссектрису и пропорциональные отрезки**, позволяя находить длины сторон треугольника без измерения углов\. ### Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Третий важнейший случай — **пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике**\. Высота $h_c$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $c$, делит ее на две проекции катетов $a_c$ и $b_c$\. ##### Элемент фигуры ##### Формула \(среднее геометрическое\) ##### Суть пропорции **Высота **$h_c$ $$ h_c^2 = a_c \cdot b_c \implies h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c} $$ Высота есть среднее пропорциональное между проекциями катетов\. **Катет **$a$ $$ a^2 = c \cdot a_c \implies a = \sqrt{c \cdot a_c} $$ Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией\. **Катет **$b$ $$ b^2 = c \cdot b_c \implies b = \sqrt{c \cdot b_c} $$ Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией\. #### Связь всех разделов темы\! 💡 Все три случая связаны единой логикой: • **Параллельные прямые** дают пропорцию на секущих \(Фалес\)\. • **Биссектриса** дает пропорцию на противоположной стороне\. • **Высота прямого угла** делит гипотенузу на отрезки, образующие среднее пропорциональное для катетов и самой высоты\. ### Пошаговый алгоритм решения задач > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki). При решении задач на **пропорциональные отрезки 8 класс** придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Определите тип фигуры:** установите, какой случай перед вами \(параллельные прямые $\implies$ теорема Фалеса; биссектриса $\implies$ свойство биссектрисы; прямоугольный треугольник $\implies$ среднее пропорциональное\)\. **Запишите пропорцию:** выпишите верное равенство отношений с соблюдением соответствия отрезков\. **Вычислите неизвестный элемент:** выразите неизвестный отрезок по правилу креста или подстановкой переменной $x$ и запишите ответ\. ### Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс Рассмотрите решения характерных задач из школьной программы за 8 класс и экзаменационных материалов ОГЭ\. **Задание:** В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$\. Стороны $AB = 10\text{ см}$, $BC = 15\text{ см}$, а сторона $AC = 20\text{ см}$\. Найдите отрезки $AD$ и $DC$\. **Подробное решение:** 1\) По теореме о биссектрисе треугольника: $$\\dfrac\{AD\}\{DC\} = \\dfrac\{AB\}\{BC\} = \\dfrac\{10\}\{15\} = \\dfrac\{2\}\{3\}$$ 2\) Пусть $AD = 2x$, тогда $DC = 3x$\. 3\) Так как $AD + DC = AC = 20\text{ см}$, составим уравнение: $$2x \+ 3x = 20 \\implies 5x = 20 \\implies x = 4\\text\{ см\}$$ 4\) Найдем длины отрезков: • $AD = 2 \cdot 4 = 8\text{ см}$; • $DC = 3 \cdot 4 = 12\text{ см}$\. **Ответ:** $AD = 8\text{ см}$, $DC = 12\text{ см}$\. **Задание:** В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки $9\text{ см}$ и $16\text{ см}$\. Найдите эту высоту и меньший катет\. **Подробное решение:** 1\) Высота является средним пропорциональным между проекциями катетов: $$h\_c = \\sqrt\{a\_c \\cdot b\_c\} = \\sqrt\{9 \\cdot 16\} = \\sqrt\{144\} = 12\\text\{ см\}$$ 2\) Гипотенуза равна сумме отрезков: $c = 9 + 16 = 25\text{ см}$\. 3\) Меньший катет находится из пропорции со своей проекцией \($9\text{ см}$\): $$a = \\sqrt\{c \\cdot a\_c\} = \\sqrt\{25 \\cdot 9\} = 5 \\cdot 3 = 15\\text\{ см\}$$ **Ответ:** высота равна $12\text{ см}$, меньший катет равен $15\text{ см}$\. ## Тренажёры по теме «Пропорциональные отрезки» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki). Отработать тему **пропорциональные отрезки 8 класс** можно с помощью онлайн\-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит сотни практических заданий на теорему Фалеса, свойство биссектрисы и пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, составленных строго по требованиям ФГОС и ФОП \(по учебникам Атанасяна, Погорелова, Мерзляка\)\. Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные решения с чертежами к каждому заданию\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном темпе, повторяйте геометрические теоремы и получайте только отличные оценки за контрольные работы\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/proportsionalnye-otrezki).