> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Простые и составные числа \- алгебра 8 класс **Простые и составные числа** \- это фундаментальное понятие в математике, с которым вы уже встречались в 5\-6 классах\. В курсе алгебры 8 класса мы углубим знания: научимся применять свойства простых чисел для решения олимпиадных задач, доказывать утверждения и использовать основную теорему арифметики\. Эти знания необходимы для понимания многих разделов алгебры и теории чисел, а также для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике\. На этой странице вы найдёте **всё, что нужно знать о простых и составных числах**: определения, свойства, алгоритмы разложения на множители, практические примеры и даже применение простых чисел в современной криптографии\. Материал структурирован так, чтобы у вас не осталось вопросов после прочтения\. ### Что такое простые и составные числа > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla). **Простое число** \- это натуральное число, большее 1, которое имеет **ровно два** различных натуральных делителя: **1** и **само себя**\. **Примеры простых чисел:** 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\. **Составное число** \- это натуральное число, большее 1, которое имеет **более двух** делителей\. **Примеры составных чисел:** 4 \(делители: 1, 2, 4\), 6 \(делители: 1, 2, 3, 6\), 8 \(делители: 1, 2, 4, 8\), 9 \(делители: 1, 3, 9\), 10 \(делители: 1, 2, 5, 10\)\. **Число 1** не является ни простым, ни составным, так как имеет только **один** делитель\. ** Важно запомнить:** Число **2** \- наименьшее простое число\. Это **единственное чётное** простое число, все остальные простые числа \- нечётные\. ### Свойства простых чисел Простые числа обладают рядом важных свойств, которые помогают при решении задач\. Мы рекомендуем запомнить их и использовать при решении олимпиадных заданий и заданий повышенной сложности\. Свойства простых чисел будут использоваться вплоть до ЕГЭ по математике и самый простой способ их запомнить \- прорешать задания на простые числа в тренажерах\. ### **Ключевые свойства** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla). **Свойство 1\.** **Простых чисел бесконечно много**\. Это было доказано ещё Евклидом в Древней Греции\. **Свойство 2\.** **Любое составное число можно разложить на простые множители**, и такое разложение **единственно** с точностью до порядка множителей\. **Свойство 3\.** Если **простое число **$p$ делит произведение $ab$, то $p$ является делителем хотя бы одного из множителей $a$ или $b$\. **Свойство 4\.** При делении простого числа $p > 3$ на 6 возможны **только остатки 1 и 5**, то есть любое простое число $p > 3$ имеет вид $6k \pm 1$\. **Свойство 5\.** **Квадрат простого числа **$p > 3$** при делении на 12 даёт остаток 1**\. Или, что то же самое, $(p^2 - 1)$ делится на 24\. ### Решето Эратосфена **Решето Эратосфена** \-$n^4$ это древний алгоритм для нахождения всех простых чисел до заданного числа $n$\. Он был придуман древнегреческим математиком Эратосфеном Киренским и до сих пор используется в математике и информатике\. ### **Алгоритм работы решета Эратосфена** Выписать подряд все натуральные числа от **2** до $n$\. Взять первое незачёркнутое число \(это будет **2**\) и зачеркнуть все числа, кратные ему \(кроме самого числа\)\. Взять следующее незачёркнутое число \(это будет **3**\) и зачеркнуть все числа, кратные ему\. Продолжать этот процесс до тех пор, пока квадрат текущего числа не станет больше $n$\. Все незачёркнутые числа в списке \- **простые**\. **Пример:** Найдём простые числа до 30\. Выписываем числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30\. Зачёркиваем числа, кратные 2: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30\. Зачёркиваем числа, кратные 3: 9, 15, 21, 27\. Зачёркиваем числа, кратные 5: 25\. Незачёркнутые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \- это **простые** числа до 30\. ### Разложение на простые множители > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla). **Основная теорема арифметики** утверждает, что любое натуральное число $n > 1$ можно представить в виде произведения простых чисел, и это представление единственно с точностью до перестановки множителей\. ### **Как разложить число на простые множители** **Алгоритм:** Проверить делимость числа на **2**\. Если делится \- разделить\. Если число не делится на 2, проверить делимость на **3**\. Проверять делимость на **5, 7, 11** и так далее \- на все простые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$\. Продолжать деление до тех пор, пока не получится **1**\. **Пример:** Разложим число **48** на простые множители\. $48 : 2 = 24$ $24 : 2 = 12$ $12 : 2 = 6$ $6 : 2 = 3$ $3 : 3 = 1$ Записываем разложение: $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$ **💡 Совет:** При разложении на простые множители удобно использовать **деление столбиком** \(вертикальной чертой\) или **дерево множителей**\. Оба способа дают один и тот же результат\. ### Как определить, является ли число простым Существует простой способ проверить, является ли число $n$ простым: достаточно проверить, делится ли оно на какое\-нибудь простое число, не превосходящее $\sqrt{n}$\. ### **Алгоритм проверки простоты числа** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla). **Пример:** Проверим, является ли число **101** простым\. $\sqrt{101} \approx 10,04$ Проверяем делимость на простые числа, не превосходящие 10: **2, 3, 5, 7**\. $101$ не делится на 2 \(нечётное\)\. $101$ не делится на 3 \(сумма цифр $1+0+1=2$, не делится на 3\)\. $101$ не делится на 5 \(не оканчивается на 0 или 5\)\. $101$ не делится на 7 \($7 \cdot 14 = 98$, $7 \cdot 15 = 105$\)\. Значит, **101 — простое число**\. ### Решение задач на простые числа Рассмотрим несколько задач, которые часто встречаются в олимпиадах и на факультативных занятиях\. #### Задача 1: Нахождение простого числа по условию Известно, что $p$, $2p+1$, $4p+1$ — простые числа\. Найдите $p$\. **Решение:** Проверим $p = 3$: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ \(простое\), $4 \cdot 3 + 1 = 13$ \(простое\)\. Подходит\. Докажем, что других значений нет\. Если $p > 3$, то $p$ имеет вид $6k \pm 1$\. Пусть $p = 6k - 1$: $4p + 1 = 4(6k - 1) + 1 = 24k - 3 = 3(8k - 1)$ — составное число\. Пусть $p = 6k + 1$: $2p + 1 = 2(6k + 1) + 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1)$ — составное число\. **Ответ:** $p = 3$\. #### Задача 2: Простое число вида $n^4 + 4$ При каких натуральных $n$ число $n^4 + 4$ является простым? **Решение:** Используем формулу разложения: $n^4 + 4 = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)$ Это произведение двух множителей\. Чтобы число было простым, один из множителей должен быть равен **1**\. $n^2 - 2n + 2 = 1$ $n^2 - 2n + 1 = 0$ $(n - 1)^2 = 0$ $n = 1$ При $n = 1$: $1^4 + 4 = 5$ — простое число\. При $n \ge 2$ оба множителя больше 1, значит, число составное\. **Ответ:** $n = 1$\. ### Простые числа в криптографии Простые числа играют огромную роль в современной жизни \- они лежат в основе систем шифрования данных, которые защищают наши пароли и банковские транзакции в интернете\. ### **Как это работает** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla). В криптографии используются очень большие простые числа \(сотни цифр\)\. Сложность разложения произведения двух больших простых чисел на множители является основой надёжности RSA\-шифрования\. Чтобы взломать шифр, нужно разложить на простые множители число, состоящее из более чем 300 цифр\. Даже самые мощные компьютеры тратят на это многие годы\. *Так что простые числа \- это не только абстрактная математика, но и основа вашей безопасности в интернете\!* ## Тренажёры по простым и составным числам На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Простые и составные числа»\. Мы подготовили задания разного уровня сложности \- от базовых определений до олимпиадных задач на доказательство\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку\. Особое внимание уделено отработке навыков разложения на простые множители и определению простоты числа \- эти навыки часто проверяются на олимпиадах и в заданиях повышенной сложности, особенно в последнем задании в ЕГЭ по математике профильного уровня\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/prostye_i_sostavnye_chisla).