> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Равнобедренная трапеция \- подробный разбор темы 8 класса На этой странице разбираем тему **«Равнобедренная трапеция» по геометрии для 8 класса**\. В курсе геометрии 8 класса равнобедренная \(или равнобокая\) трапеция занимает особое место среди четырехугольников\. Благодаря своей симметрии она обладает уникальными свойствами углов, диагоналей и отрезков оснований, которые заметно упрощают решение геометрических задач\. ## Теоретический справочник: всё про равнобедренную трапецию > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya). Ниже разобраны определение, ключевые свойства, признаки равнобедренной трапеции и формулы для вычислений \- настоятельно рекомендуем записать и запомнить их, поскольку большое количество задач по геометрии в 8 классе направлены именно на них\. ### Определение равнобедренной трапеции #### Определение равнобедренной трапеции 🎯 **Равнобедренной \(или равнобокой\) трапецией** называется трапеция, у которой боковые стороны равны между собой\. • Параллельные стороны называют **основаниями** \($AD \parallel BC, AD \neq BC$\)\. • Непараллельные равные стороны называют **боковыми сторонами** \($AB = CD$\)\.  ### Свойства равнобедренной трапеции > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya). В школьной программе за 8 класс изучают следующие фундаментальные **свойства равнобедренной трапеции по геометрии**: ##### Равенство углов при основании Углы при каждом из оснований равны между собой: $\angle A=\angle D$ \(при нижнем основании\), $\angle B=\angle C$ \(при верхнем основании\)\. ##### Равенство диагоналей Диагонали равнобедренной трапеции равны: AC = BD  ##### Свойства отрезков большего основания Если из вершин тупых углов опустить две высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$, то: • Крайние отрезки равны: $AH = KD = \dfrac{AD - BC}{2}$ \(полуразность оснований\)\. • Большой отрезок основания равен: $HD = AK = \dfrac{AD + BC}{2}$ \(полусумма оснований, то есть средней линии\!\)\.  ##### **Сумма противоположных углов** Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна $180^\circ$ \($\angle A + \angle C = 180^\circ$, $\angle B + \angle D = 180^\circ$\)\. ##### **Окружность** Около равнобедренной трапеции **всегда можно описать окружность** \(это единственный вид трапеции, обладающий таким свойством\!\) #### Признаки равнобедренной трапеции Чтобы доказать в задаче, что перед нами именно равнобедренная трапеция, используют следующие **признаки равнобедренной трапеции \(8 класс\)**: 1\. Если у трапеции **углы при одном из оснований равны** \($\angle A = \angle D$\), то она равнобедренная\. 2\. Если у трапеции **диагонали равны** \($AC = BD$\), то она равнобедренная\. 3\. Если у трапеции **сумма противоположных углов равна **$180^\circ$, то она равнобедренная\. #### Как найти углы равнобедренной трапеции? 💡 Так как боковые стороны параллельны, сумма углов при любой боковой стороне равна $180^\circ$ \($\angle A + \angle B = 180^\circ$\)\. Если в задаче за 8 класс известен хотя бы **один угол**, вы мгновенно знаете все четыре: • Второй угол при том же основании равен данному\. • Два других угла равны $180^\circ$ минус известный угол\! #### Площадь равнобедренной трапеции В **геометрии 8 класса площадь равнобедренной трапеции** находится по классической формуле или через её особенности: • **Через основания и высоту:** $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота\. • **Через среднюю линию:** $S = m \cdot h$, где $m = \dfrac{a + b}{2}$\. • **Если ****диагонали взаимно перпендикулярны**** \(**$AC \perp BD$**\):** высота равнобедренной трапеции равна её средней линии \($h = m$\), а площадь вычисляется по формуле: $$ S=h^2\quad\text{или}\quad S=\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^{} $$ ### Пошаговый алгоритм решения задач на равнобедренную трапецию в 8 классе При решении задач на равнобедренную трапецию на самостоятельных и контрольных работах в 8 классе придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Проведите две высоты из тупых углов:** высоты $BH$ и $CK$ отсекут два равных прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник посередине\. **Найдите крайние отрезки оснований:** вычтите из большего основания меньшее и разделите пополам \($AH = \dfrac{a - b}{2}$\)\. **Используйте теорему Пифагора или прямоугольный треугольник:** найдите высоту или боковую сторону, а затем рассчитайте искомую величину \(угол или площадь\)\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ на равнобедренную трапецию > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya). Рассмотрите решения задач, характерных для уроков геометрии в 8 классе\. **Задание:** В равнобедренной трапеции разность двух противолежащих углов равна $40^\circ$\. Найдите все углы этой трапеции\. **Подробное решение:** 1\) Пусть острый угол трапеции равен $x$, а тупой угол равен $y$\. По свойству углов при боковой стороне их сумма равна $180^\circ$: $x + y = 180^\circ$\. 2\) Противолежащие углы равнобедренной трапеции — это острый угол $x$ и тупой угол $y$\. По условию их разность равна $40^\circ$: $y - x = 40^\circ \implies y = x + 40^\circ$\. 3\) Подставим $y$ в первое уравнение: $x + (x + 40^\circ) = 180^\circ \implies 2x = 140^\circ \implies x = 70^\circ$\. 4\) Найдем второй \(тупой\) угол: $y = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$\. 5\) По свойствам равнобедренной трапеции 8 класса углы при основаниях равны\. Значит, у трапеции два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$\. **Ответ:** $70^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$, $110^\circ$\. **Задание:** Основания равнобедренной трапеции равны $10\text{ см}$ и $20\text{ см}$, а боковая сторона равна $13\text{ см}$\. Найдите площадь этой трапеции\. **Подробное решение:** 1\) Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на большее основание $AD$\. 2\) По свойству равнобедренной трапеции отрезок $AH$ равен полуразности оснований: $AH = \dfrac{AD - BC}{2} = \dfrac{20 - 10}{2} = 5\text{ см}$\. 3\) Из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ по теореме Пифагора найдем высоту $BH$: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$\. 4\) Найдем площадь равнобедренной трапеции: $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180\text{ см}^2$\. **Ответ:** $180\text{ см}^2$\. ## Тренажёры по теме «Равнобедренная трапеция» на Экзамео Закрепите **свойства и признаки равнобедренной трапеции за 8 класс** на практике с помощью онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все задания составлены в соответствии со школьной программой\. К каждому заданию вы найдете подробное решение, которое поможет лучше разобраться в теме\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ravnobedrennaya_trapetsiya).