Системы неравенств - разбор темы и тренажёры. Алгебра 8 класс

В 8 классе вы уже научились решать задания по теме Линейные неравенства. Теперь настало время для более сложной, но очень интересной темы - системы и совокупности неравенств с одной переменной. На этой странице разберем подробно эту тему - посмотрим на разницу между системами и совокупностями линейных неравенств одной переменной.

Эти знания необходимы для решения задач из ОГЭ и ЕГЭ по математике, а также для понимания многих физических и геометрических задач. На этой странице мы разберем, что это такое, как их решать и в чем их главное отличие.

Система неравенств - это несколько неравенств, для которых нужно найти общие решения, то есть значения переменной, которые удовлетворяют каждому из них одновременно.

Пояснение к системе неравенств

Чтобы лучше понять, что такое система неравенств, представьте себе пересечение множеств. Если у вас есть два множества чисел — решения первого неравенства и решения второго неравенства, — то решением системы будет их общая часть (пересечение).

Как это работает на практике

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} x > 3, \\ x \le 7. \end{cases}$

Первое неравенство $x > 3$ даёт нам все числа больше 3. Второе неравенство $x \le 7$ даёт все числа меньше или равные 7. Нам нужны числа, которые одновременно больше 3 и меньше или равны 7. Это все числа от 3 до 7, где 3 не входит, а 7 входит.

Ответ: $(3; 7]$

На числовой прямой это выглядит как пересечение двух промежутков: луча $(3; +\infty)$ и луча $(-\infty; 7]$ .

Важно запомнить: В системе неравенств все условия должны выполняться одновременно. Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то значение переменной не является решением системы.

Что такое система неравенств

Представьте, что вам нужно найти скорость туриста, при которой он успеет на поезд, но она зависит не от одного, а от двух условий одновременно. Именно для таких случаев и нужны системы неравенств.

Пример задачи на систему неравенств

Задача. Турист вышел с турбазы к станции, расстояние до которой 20 км. Если он увеличит скорость на 1 км/ч, то за 4 ч он пройдёт больше 20 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 5 ч не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?

Решение.

Пусть скорость туриста равна $x$ км/ч.

1. Если он идёт со скоростью $(x + 1)$ км/ч, то за 4 ч пройдёт $4(x + 1)$ км. По условию: $4(x + 1) > 20$ .
2. Если он идёт со скоростью $(x - 1)$ км/ч, то за 5 ч пройдёт $5(x - 1)$ км. По условию: $5(x - 1) < 20$ .

Нам нужно найти такие значения $x$ , при которых верны оба неравенства. Это и есть система неравенств:

$\begin{cases} 4(x + 1) > 20, \\ 5(x - 1) < 20. \end{cases}$

Решив каждое неравенство, получим:

$\begin{cases} x > 4, \\ x < 5. \end{cases}$

Ответ: скорость туриста больше 4 км/ч, но меньше 5 км/ч ( $4 < x < 5$ ).

Определение решения системы неравенств

Основные определения

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.

Решить систему неравенств — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения систем неравенств

Чтобы решить систему неравенств, нужно выполнить несколько стандартных шагов.

Алгоритм решения системы линейных неравенств

Шаг 1. Решить каждое неравенство системы по отдельности.

Шаг 2. Изобразить решение каждого неравенства на одной числовой прямой.

Шаг 3. Найти пересечение полученных промежутков (их общую часть).

Шаг 4. Записать ответ в виде числового промежутка или в виде неравенства.

Важно помнить: Если на числовой прямой пересечения нет, то система не имеет решений. Решением может быть как промежуток, так и одно число.

Примеры решения систем неравенств

Рассмотрим несколько типовых примеров, которые встречаются в школьных учебниках и на экзаменах.

Пример 1: Решение системы с двумя неравенствами

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 1 > 6, \\ 5 - 3x > -13. \end{cases}$

Шаг 1. Решаем первое неравенство:

$2x - 1 > 6$

$2x > 7$

$x > 3,5$

Шаг 2. Решаем второе неравенство:

$5 - 3x > -13$

$-3x > -18$

$3x < 18$ (знак неравенства изменили при делении на отрицательное число)

$x < 6$

Шаг 3. Изображаем решения на числовой прямой:

$x > 3,5$ и $x < 6$

Шаг 4. Находим пересечение: $(3,5; 6)$

Ответ: $x \in (3,5; 6)$

Пример 2: Система без решений

Рассмотрим следующую систему неравенств:

$\begin{cases} 21 - 3y < 0, \\ 5 - 3y > 80. \end{cases}$

Шаг 1. Решаем первое неравенство:

$21 - 3y < 0$

$-3y < -21$

$y > 7$

Шаг 2. Решаем второе неравенство:

$5 - 3y > 80$

$-3y > 75$

$y < -25$

Шаг 3. Изображаем решения на числовой прямой:

$y > 7$ и $y < -25$

Пересечений у этих промежутков нет.

Ответ: решений нет ( $\varnothing$ )

Пример 3: Система, решением которой является одно число

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 1 \ge 8, \\ 0,2x + 4 \le 7 - 0,8x. \end{cases}$

Шаг 1. Решаем первое неравенство:

$3x - 1 \ge 8$

$3x \ge 9$

$x \ge 3$

Шаг 2. Решаем второе неравенство:

$0,2x + 4 \le 7 - 0,8x$

$0,2x + 0,8x \le 7 - 4$

$x \le 3$

Шаг 3. Изображаем решения на числовой прямой:

$x \ge 3$ и $x \le 3$

Пересечение - только точка $x = 3$ .

Ответ: $\{3\}$

Совокупности линейных неравенств

В отличие от системы, где нужны общие решения, в совокупности неравенств требуется найти значения переменной, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств.

Система неравенств

Объединяется фигурной скобкой {.

Нужно найти пересечение решений (общую часть) - иными словами те решения, которые подходят одновременно к первому неравенству и ко второму.

Условия должны выполняться одновременно.

Совокупность неравенств

Объединяется квадратной скобкой [.

Нужно найти объединение решений - то есть собрать все решения первого неравенства и все решения второго неравенства. и записать их в общее множество

Достаточно выполнения хотя бы одного условия.

Важно запомнить: Ключевое отличие системы от совокупности — это логическое условие. Система требует выполнения всех условий одновременно, а совокупность — хотя бы одного из них.

Различие между совокупностью и системой на примере

Чтобы лучше понять разницу между системой и совокупностью, решим одни и те же неравенства двумя способами. Обратите внимание: условия одинаковые, а результат разный!

Система неравенств

Решим систему:

$\begin{cases} 2x - 5 > 3, \\ x + 2 \le 7. \end{cases}$

Шаг 1. Решаем каждое неравенство:

$2x - 5 > 3$

$2x > 8$

$x > 4$

$x + 2 \le 7$

$x \le 5$

Шаг 2. Находим пересечение решений:

$x > 4$ и $x \le 5$

Ответ: $(4; 5]$ (числа от 4 до 5, 4 не входит, 5 входит)

Фигурная скобка { означает, что нужно найти общую часть — пересечение.

Совокупность неравенств

Решим совокупность:

$\left[ \begin{array}{l} 2x - 5 > 3, \\ x + 2 \le 7. \end{array} \right.$

Шаг 1. Решаем каждое неравенство:

$2x - 5 > 3$

$2x > 8$

$x > 4$

$x + 2 \le 7$

$x \le 5$

Шаг 2. Находим объединение решений:

$x > 4$ или $x \le 5$

Ответ: $(-\infty; +\infty)$ (все числа)

Квадратная скобка [ означает, что нужно найти объединение — всё, что подходит хотя бы под одно условие.

Сравните ответы: В системе получился промежуток $(4; 5]$ , а в совокупности — все числа $(-\infty; +\infty)$ . Одинаковые неравенства, но разный смысл скобок (фигурная vs квадратная) даёт совершенно разные результаты!

Тренажёры на системы и совокупности неравенств

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной». Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам по алгебре в 8 классе и к ОГЭ по математике

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы